Question

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, а основания равны 8 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Ответ:Для решения рассмотрим рисунок

Построим высоту НК через точку пересечения диагоналей О.

Так как диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, то треугольники ВОС и АОД прямоугольные и равнобедренные.

Отрезки ОН и ОК есть высоты, медианы и биссектрисы треугольников ВОС и АОД.

Тогда ОН = ВС / 2 = 8 / 2 = 4 см.

ОК = АД / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Тогда длина высоты НК = ОН + ОК = 4 + 6 = 10 см.

Определим площадь трапеции.

Sавсд = (АД + ВС) * НК / 2 = (12 + 8) * 10 / 2 = 100 см^2.

Ответ: Площадь трапеции равна 100 см^2.

Answer 2

Давайте обозначим данную трапецию следующим образом:

AB - большее основание (12 см) CD - меньшее основание (8 см) AD и BC - диагонали

Поскольку диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, каждая из них делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника.

Мы знаем, что диагонали равны, поэтому можно представить диагонали как AD и BC.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали:

$AD^2 + BC^2 = AB^2$

Подставляем известные значения:

$AD^2 + BC^2 = 12^2$ $2AD^2 = 144$ $AD^2 = 72$ $AD = \sqrt{72} \approx 8.49$ см

Так как диагональ AD делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты AD/2 и CD, мы можем выразить площадь каждого из этих треугольников:

Площадь одного прямоугольного треугольника: $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AD}{2} \cdot CD$

Подставляем значения:

$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8.49}{2} \cdot 8$ $S_{\text{треугольника}} \approx 33.96 \, \text{см}^2$

Так как у нас два таких треугольника:

Площадь обоих треугольников: $2 \cdot S_{\text{треугольника}} \approx 67.92 \, \text{см}^2$

Наконец, площадь трапеции:

Площадь трапеции: $S_{\text{трапеции}} = S_{\text{большего основания}} + S_{\text{обоих треугольников}} + S_{\text{меньшего основания}}$ $S_{\text{трапеции}} = 12 + 67.92 + 8 = 87.92 \, \text{см}^2$

Итак, площадь данной равнобедренной трапеции составляет примерно $87.92 \, \text{см}^2$.