Question

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Периметр треугольника АВС равен 40 см , а периметр треугольника АВМ 34 см. найдите длину медианы АМ

Answer 1

Периметр тр-ка АВС = 2*АВ +2*(0,5ВС) (так как АВ=АС, а АМ - медиана) = 40см. Значит АВ+0,5*ВС = 20см.
Периметр тр-ка АВМ = АВ+0,5*ВС +АМ = 34см, или 20см + АМ = 34см. 
Отсюда АМ= 34см - 20см =14см. 
Ответ: АМ = 14см

Answer 2

Обозначим длину стороны треугольника АВС (равной основанию) как a, а длину медианы АМ как m. Так как треугольник АВС равнобедренный, то стороны АВ и АС равны.

Известно, что периметр треугольника АВС равен 40 см: 2a + BC = 40 (уравнение 1)

Также известно, что периметр треугольника АВМ равен 34 см: AM + MV + AV = 34 (уравнение 2)

Медиана разделяет сторону BC пополам, поэтому MV = BC/2.

Заметим, что треугольник АВМ является прямоугольным треугольником, так как медиана АМ является высотой и медианой к основанию в равнобедренном треугольнике. Мы можем использовать теорему Пифагора:

AV^2 + MV^2 = AM^2

Заменим AV на a/2 и MV на BC/2:

(a/2)^2 + (BC/2)^2 = m^2

Упростим:

a^2/4 + BC^2/4 = m^2

Согласно теореме Пифагора в треугольнике АВС:

AV^2 + BC^2 = a^2

Заменим AV на a/2:

(a/2)^2 + BC^2 = a^2

Упростим:

a^2/4 + BC^2 = a^2

Отсюда получаем:

BC^2 = 3a^2/4

Теперь мы можем выразить BC через a:

BC = √(3a^2)/2 = a√3/2

Теперь подставим это значение для BC в уравнение (уравнение 1):

2a + a√3/2 = 40

Упростим:

2a + a√3 = 40

Выразим a:

a = 40 / (2 + √3)

Теперь, используя найденное значение a, мы можем вычислить длину медианы m с помощью уравнения для медианы:

m^2 = a^2/4 + BC^2/4

Подставим значения:

m^2 = (40 / (2 + √3))^2 / 4 + (a√3/2)^2 / 4

m^2 = (1600 / (4 + 4√3 + 3)) + (3a^2 / 4)

m^2 = 400 / (1 + √3) + 3a^2 / 4

Теперь подставим значение a и вычислим m:

m^2 = 400 / (1 + √3) + 3(40 / (2 + √3))^2 / 4

m^2 = 400 / (1 + √3) + 3(1600 / (4 + 4√3 + 3)) / 4

m^2 = 400 / (1 + √3) + 3(400 / (2 + √3)) / 4

m^2 = 400 / (1 + √3) + 300 / (2 + √3)

m^2 = (400(2 + √3) + 300(1 + √3)) / (1 + √3)(2 + √3)

m^2 = (800 + 400√3 + 300 + 300√3) / (2 + √3)(1 + √3)

m^2 = (1100 + 700√3) / (2 + 3)

m^2 = (1100 + 700√3) / 5

m^2 = 220 + 140√3

m = √(220 + 140√3)

Таким образом, длина медианы AM равна √(220 + 140√3) см.