Question

Докажите, что если углы треугольника равны, то и стороны равны.С объяснением пожалуйста.

Answer 1

Пусть углы треугольника равны, тогда т.к. сумма углов 180, а у треугольника 3 угла, то 1  угол равен 60 градусам
по теореме синусов
$\mathtt{ \dfrac{a}{sin\alpha}=\dfrac{b}{sin\beta}=\dfrac{c}{sin\gamma}};\\ \mathtt{\alpha = \beta =\gamma=60\to\sin \alpha =sin \beta =sin\gamma= \dfrac{\sqrt3}{2}}\\\mathtt{\to a=b=c}$ по свойству дроби

Answer 2

Вариант решения. 

Пусть дан треугольник АВС, все углы которого равны. 

Углы при основании АС равны ⇒ По определению равнобедренного треугольника АВ=ВС. 

Аналогично: углы при В и С равны - в треугольнике ВАС стороны ВА=СА.  В данном треугольнике АВ=ВС, АВ=СА, ВС=СА ⇒ 

все стороны треугольника с равными углами равны.

Answer 3

Для доказательства того, что если углы треугольника равны, то и его стороны равны, мы можем использовать свойства геометрических фигур и теоремы о треугольниках. Одной из таких теорем является теорема о равенстве треугольников по двум углам и стороне между ними, известная как Угловая сторона - угловая сторона (УСУ).

Предположим, у нас есть треугольник ABC, в котором все углы равны. Пусть A, B и C - вершины треугольника, а a, b и c - соответствующие стороны. Пусть также каждый угол имеет меру x.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, и все углы равны между собой, то x + x + x = 180°, откуда следует, что 3x = 180°. Решая это уравнение, мы получаем x = 60°.

Теперь мы знаем, что все углы треугольника ABC равны 60°. Теперь воспользуемся теоремой УСУ: если два треугольника имеют равные углы и одну равную сторону между равными углами, то эти треугольники равны.

Мы можем построить треугольник A'B'C', в котором все углы также равны 60°, и одна из его сторон равна стороне AB треугольника ABC. Так как у нас есть равные углы и общая сторона между ними, по теореме УСУ треугольники ABC и A'B'C' равны.

Таким образом, соответствующие стороны AB и A'B' равны. Это означает, что стороны треугольника ABC равны между собой: a = b = c.

Таким образом, мы доказали, что если углы треугольника равны, то и его стороны также равны.