Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 8 под корнем 3 . один из его острых углов равен 30. найти гипотенузу

Answer 1

Обозначим a,b - катеты треугольника, с- гипотенуза, угол между a и c равен 30°.
Тогда можно записать площадь треугольника в виде $S= \frac{1}{2}ab \rightarrow a= \frac{2S}{b}$
Поскольку катет b лежит против угла в 30°, то гипотенуза имеет размер, равный удвоенному размеру катета. Далее запишем выражение для a по теореме Пифагора:
$c=2b \\a= \sqrt{c^2-b^2}= \sqrt{(2b)^2-b^2}= \sqrt{4b^2-b^2}= \sqrt{3b^2}=b \sqrt{3}; \\ b \sqrt{3}= \frac{2S}{b} \rightarrow b^2 \sqrt{3}=2S; S=8 \sqrt{3} \rightarrow b^2 \sqrt{3}=16 \sqrt{3}; b^2=16; \\ b=4 \rightarrow c=8$