Question

Диагонали трапеции ABCD ( AB||CD) пересекаются в точке M. Площадь треугольника ADM равна 12, DM=2BM. Найти площадь трапеции.

Answer 1

Площадь треугольника АВД равна сумме площадей треугольников АМД и АВМ и равна 6+3=9.Высота треугольника АВД равна высоте трапеции АВСД.Введём обозначения: h - высота треугольника АМД, H - высота треугольника АВД,  a - нижнее основание трапеции, в - верхнее основание.Отношение высот определим из их площадей:(1/2)a*h = 6,(1/2)a*H = 9.Отсюда h/Н = 6/9 = 2/3.Теперь рассмотрим треугольник ВМС. Он подобен треугольнику АМД. Высота его равна Н - h, а площадь пропорциональна квадрату сходственных сторон.Произведение a*h = 6*2 = 12,                       a*H = 9*2 = 18.Если принять целочисленные значения этих величин, то такое соотношение возможно при значениях а = 3, h = 4, Н = 6.Тогда Н - h = 6 - 4 = 2.Площадь треугольника ВМС равна:
(1/2)в*(Н - h) = (1/2)в*2 = в.Отношение площадей треугольников ВМС и АМД равно 
(Н – h)²/h² = 2²/ 4² = 4/16 = 1/4.То есть S(ВМC) = (1/4)*S(АМД),
 (1/2)в*(Н - h) = (1/4)*6.
(1/2)в*2 = 6/4,
в = 6/4 = 3/2.
Перенесём сторону ВС к нижнему основанию в точку Д.
Получим треугольник АВД₁, равновеликий по площади трапеции АВСД.
S(АВСД) = S(АВД₁) = (1/2)*H*(a+в) = (1/2)*6*(3+(3/2)) = 27/2 = 13,5 кв.ед.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте введем некоторые обозначения:

Пусть AB = a, CD = b, DM = x, BM = y.

Так как DM = 2BM, то x = 2y.

Также заметим, что треугольник ADM и треугольник BMC имеют общую высоту MD, и отношение их площадей равно отношению их оснований (x:y). То есть:

Площадь треугольника BMC / Площадь треугольника ADM = y / x

Теперь мы знаем, что площадь треугольника ADM равна 12, а x = 2y. Подставим известные значения:

Площадь треугольника BMC / 12 = y / 2y

Площадь треугольника BMC = 12 * (y / 2y) = 6

Теперь мы знаем площадь треугольника BMC. Чтобы найти площадь трапеции ABCD, нужно сложить площади обоих треугольников ADM и BMC:

Площадь трапеции ABCD = Площадь треугольника ADM + Площадь треугольника BMC = 12 + 6 = 18

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 18.