Question

В треугольнике ABC известно, что угол C =90градусов , угол A=30 градусов, отрезок ВМ - биссектриса треугольника. Найдите катет АС, если ВМ =6 см

Answer 1

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства биссектрисы треугольника и тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Обозначим катет АС как x (в см). Так как отрезок ВМ является биссектрисой угла B, то деление стороны АВ происходит пропорционально:

BM/MA = AB/AC

Так как угол А = 30 градусов и угол C = 90 градусов, мы знаем, что угол B = 180 - 30 - 90 = 60 градусов. Теперь можем найти AB и AC с помощью тригонометрии.

В прямоугольном треугольнике ABC (прямоугольник в точке C):

sin(A) = BC / AC

sin(30°) = BC / AC

1/2 = BC / AC

BC = AC / 2

Теперь у нас есть выражение для BC через AC.

Также в прямоугольном треугольнике ABC (прямоугольник в точке A):

cos(A) = BC / AB

cos(30°) = BC / AB

√3/2 = BC / AB

BC = (√3/2) * AB

Теперь у нас есть выражение для BC через AB.

Мы также знаем, что BM = 6 см (длина биссектрисы).

Теперь можно составить уравнение, используя пропорции:

BM / MA = AB / AC

6 / x = (√3/2) * AB / (AC / 2)

6 / x = (√3/2) * AB / (AC / 2)

6 / x = (√3/2) * AB / (AC / 2)

6 * AC / 2 = (√3/2) * AB * x

3 * AC = (√3/2) * AB * x

Теперь подставим значение BM = 6 и найденные ранее связи BC = AC / 2 и BC = (√3/2) * AB в уравнение:

3 * AC = (√3/2) * AB * x

3 * AC = (√3/2) * (AC / 2) * x

3 * AC = (√3/2) * (AC / 2) * x

Упростим:

6 * AC = (√3/2) * AC * x

Теперь выразим x:

x = (6 * AC) / [(√3/2) * AC]

x = 6 * (2 / √3)

x = 12 / √3

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя с радикалом, умножим числитель и знаменатель на √3:

x = (12 / √3) * (√3 / √3)

x = 12√3 / 3

x = 4√3 см

Таким образом, катет AC равен 4√3 см.