Question

1.Даны точки A (3;2;1) B (1;2;3) и вектор CD {1;1;1} найдите: а) координаты вектора AB б) абсолютную величины вектора CD в) координаты разносит векторов AB и CD. 2. Найдите долину вектора -3a+2b если a{-3;-2;-1} b(1;2;-4) {1;2;-4} 3. Найдите косинус угла A треугольника ABC, если A(0;1;-1) B(1;-1;2) C (3;1;0)

Answer 1

1. A (3;2;1) B (1;2;3) и CD {1;1;1}
а) координаты вектора АВ
АВх = 1 - 3 = -2 ; АВу = 2 - 2 = 0; АВz = 3 - 1 = 2
АВ {-2; 0; 2}
б) ICDI = √(1² + 1² + 1²) = √3
в) u = AB - CD
ux = -2 - 1 = - 3; uy = 0 - 1 = -1; uz = 2 - 1 =  1
u {-3; -1; 1 }
2. w = -3a + 2b, если a{-3;-2;-1} b{1;2;-4}
-3a {9; 6; 3}    2b {2; 4; -8}
wx = 9 + 2 = 11; wy = 6 + 4 = 10; wz = 3 - 8 = -5
w{11; 10; -5}
3. A(0;1;-1) B(1;-1;2) C (3;1;0)
АВ{1; -2; 3 };   IABI = √(1² + 2² + 3³) = √14
BC{ 2; -2; -2}   IBCI = √(2² + 2² + 2²) = √12
AC{3; 0; 1}      IACI = √(3² + 1²) = √10
По теореме косинусов
ВС² = АВ² + АС² - 2АВ · АС · cos A
12 = 14 + 10 - 2 · √(14 · 10) · cos A
12 = 2 √140 ·cos A
6 = 2√35 · cos A
cos A = 3/√35 ≈ 0.507

Answer 2

1. Решение: а) Координаты вектора AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

AB = B - A = (1; 2; 3) - (3; 2; 1) = (-2; 0; 2)

б) Абсолютная величина (длина) вектора CD можно найти по формуле:

|CD| = √(x^2 + y^2 + z^2) = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3

в) Координаты разностей векторов AB и CD можно найти, вычитая соответствующие координаты друг из друга:

AB - CD = (-2; 0; 2) - (1; 1; 1) = (-3; -1; 1)

2. Решение: Для нахождения суммы векторов -3a + 2b нужно умножить каждый вектор на его коэффициент и сложить результаты:

-3a = -3 * (-3; -2; -1) = (9; 6; 3)

2b = 2 * (1; 2; -4) = (2; 4; -8)

-3a + 2b = (9; 6; 3) + (2; 4; -8) = (11; 10; -5)

Ответ: -3a + 2b = (11; 10; -5)

3. Решение: Для нахождения косинуса угла A треугольника ABC используем формулу косинуса угла между двумя векторами:

cos(A) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

где AB - вектор, соединяющий точки A и B, AC - вектор, соединяющий точки A и C, · - скалярное произведение векторов, |AB| - длина вектора AB, |AC| - длина вектора AC.

1. Вычислим векторы AB и AC: AB = B - A = (1 - 0; -1 - 1; 2 - (-1)) = (1; -2; 3) AC = C - A = (3 - 0; 1 - 1; 0 - (-1)) = (3; 0; 1)

2. Вычислим скалярное произведение AB и AC: AB · AC = 1 * 3 + (-2) * 0 + 3 * 1 = 3 + 0 + 3 = 6

3. Вычислим длины векторов AB и AC: |AB| = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14 |AC| = √(3^2 + 0^2 + 1^2) = √(9 + 0 + 1) = √10

4. Подставим все значения в формулу косинуса угла A: cos(A) = 6 / (√14 * √10) ≈ 0.4082

Ответ: косинус угла A треугольника ABC ≈ 0.4082.