Question

№ 1. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC, AB=14 см, BC=20 см, AC= 21 см. Найти AD. №2. Отрезок AD является медианой треугольника ABC, AB=12см, BC=16 см, AC=20 см. Найти AD. №3. В треугольнике АВС угол А вдвое больше угла В, а длины сторон, противолежащим этим углам, соответственно равны 12 см и 8 см. Найти длину третьей стороны треугольника.

Answer 1

№ 1 Биссектриса АД делит сторону ВС на отрезки ВД и ДС,  пропорциональные двум другим сторонам: АВ :АС=ВД:ДС. Пусть ВД=Х,тогда ДС=20-Х.
Уравнение: 14:21=Х:(20-Х)
14(20-Х)=21Х , 280-14Х=21Х  ,35Х=280,  Х=8
Ответ:ВД=8см ;ДС=12см. 

Answer 2

Для каждого из заданий рассмотрим данные условия и применим соответствующие теоремы и свойства треугольников.

№1. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC, AB=14 см, BC=20 см, AC=21 см. Найдите AD.

Используем теорему о биссектрисе треугольника:

Когда биссектриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD, то отношение длин отрезков равно отношению длин смежных сторон: BD / CD = AB / AC

Подставляем известные значения:

BD / CD = 14 см / 21 см = 2 / 3

Теперь знаем, что отрезок BD составляет 2 части отрезка CD, а отрезок CD - 3 части. Обозначим длину AD как x.

Тогда: BD = 2x CD = 3x

Также можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(ACB)

21^2 = 14^2 + 20^2 - 2 * 14 * 20 * cos(ACB)

441 = 196 + 400 - 560 * cos(ACB)

560 * cos(ACB) = 155

cos(ACB) = 155 / 560

cos(ACB) ≈ 0.27679

Теперь можем найти синус этого угла:

sin(ACB) = √(1 - cos^2(ACB)) ≈ √(1 - 0.27679^2) ≈ 0.96129

Теперь применим теорему синусов для треугольника ACD:

AD / sin(ACB) = CD / sin(ACD)

x / 0.96129 = 3x / 8

8x = 3x * 0.96129

8x ≈ 2.88387x

x ≈ 8 / 2.88387 ≈ 2.774 см

Ответ: AD ≈ 2.774 см.

№2. Отрезок AD является медианой треугольника ABC, AB=12 см, BC=16 см, AC=20 см. Найдите AD.

Для медианы треугольника справедливо следующее свойство:

Медиана, проведенная к одной из сторон треугольника, делит ее пополам.

Таким образом, AD = BC / 2 = 16 см / 2 = 8 см.

Ответ: AD = 8 см.

№3. В треугольнике АВС угол А вдвое больше угла В, а длины сторон, противолежащих этим углам, соответственно равны 12 см и 8 см. Найдите длину третьей стороны треугольника.

Пусть угол В имеет меру x градусов. Тогда угол А будет равен 2x градусов.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов:

x + 2x + угол С = 180

3x + угол С = 180

Теперь, используя известные свойства треугольников, применим закон синусов:

sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c

Где a, b, c - стороны треугольника, а A, B, C - противолежащие углы.

Подставим известные значения:

sin(2x) / 12 = sin(x) / 8 = sin(угол С) / c

Мы уже знаем, что sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x), так как угол А вдвое больше угла В.

Таким образом, уравнение примет вид:

2 * sin(x) * cos(x) / 12 = sin(x) / 8 = sin(угол С) / c

Упростим:

sin(x) * cos(x) / 6 = sin(x) / 8 = sin(угол С) / c

Если sin(x) ≠ 0, то можно сократить на sin(x):

cos(x) / 6 = 1 / 8 = sin(угол С) / c

cos(x) = 1 / 6

Теперь, зная cos(x), можно найти sin(x):

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

sin^2(x) + (1/6)^2 = 1

sin^2(x) + 1/36 = 1

sin^2(x) = 1 - 1/36 = 35/36

sin(x) = √(35/36) ≈ √35 / 6

Теперь, зная sin(x), можно найти угол С:

sin(угол С) = sin(x) * c / 8

√35 / 6 = √35 / 6 * c / 8

Отсюда:

c / 8 = 1

c = 8 см

Ответ: длина третьей стороны треугольника равна 8 см.