Question

Биссектрисса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см. Найдите площадь треугольника

Answer 1

Катеты а, в;  с гипотенуза, по свойству биссектрисы а/в=10/30=1/3, в=3а;  с=10+30=40, по т Пифагора а²+в²=а²+9а²=10а²=40

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим биссектриссу прямого угла прямоугольного треугольника как "BD", а точку пересечения биссектриссы с гипотенузой как "E".

Так как биссектрисса делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см, то длина отрезка DE равна 10 см, а длина отрезка CE равна 30 см.

Теперь рассмотрим треугольники ADE и BCE. Они являются подобными, так как у них совпадают углы при вершине D (поскольку BD - биссектрисса). Таким образом, отношение длин сторон треугольников ADE и BCE равно отношению длин других соответствующих сторон:

AD/BC = DE/CE

Длина отрезка AD равна 10 см (половина длины гипотенузы), и длина отрезка BC равна 30 см (другая половина длины гипотенузы).

10/30 = DE/CE

Упростим:

1/3 = 10/CE

Теперь найдем длину отрезка CE:

CE = 3 * 10 = 30 см

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:

AB = 10 см (катет прямоугольного треугольника) AC = 30 см (катет прямоугольного треугольника) BC = 30 см (гипотенуза прямоугольного треугольника)

Теперь можно найти площадь треугольника с помощью формулы:

Площадь треугольника = 0.5 * основание * высота

Высота треугольника может быть найдена как высота, проведенная к гипотенузе из прямого угла. Так как это прямоугольный треугольник, то высота проходит через точку B, разделяя его на два подобных треугольника: ABC и BDC.

Высота BD равна 10 см (половина катета AB), а высота CD равна 30 см (половина гипотенузы BC).

Теперь вычислим площади обоих подобных треугольников:

Площадь треугольника ABC = 0.5 * AB * CD = 0.5 * 10 * 30 = 150 кв. см Площадь треугольника BDC = 0.5 * BC * BD = 0.5 * 30 * 10 = 150 кв. см

Теперь сложим эти площади, чтобы получить площадь всего треугольника:

Площадь треугольника ABCD = Площадь треугольника ABC + Площадь треугольника BDC = 150 + 150 = 300 кв. см

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 300 квадратных сантиметров.