Question

Дано: ABCA₁B₁C₁-правильная призма. AA₁C₁C-квадрат, К-середина BB₁, AC=12√3. Найти угол между плоскостями АКС и АВС. Желательно с рисунком, но если прямо крайне лень, то хотя бы понятное решение!

Answer 1

Пусть А - начало координат
Ось Х - АВ
Ось У - перпендикулярно Х в сторону С
Ось Z - AA1

Уравнение плоскости АВС
z=0

Координаты точек
С(6√3;18;0)
К(12√3;0;6√3)

Уравнение плоскости АКС - проходит через начало координат
аx+by+cz=0
Подставляем координаты точек
6√3а+18b=0
12√3a+6√3c=0

Пусть с=1 тогда а= -1/2 b=√3/6

-x/2+√3y/6+z= 0
k=√(1/4+1/12+1)=2/√3

Косинус искомого угла равен
1/(2/√3)=√3/2

Угол равен 30 градусам

Answer 2

Хорошо, давайте решим эту задачу. Начнем с некоторых обозначений и уточнений:

1. ABCA₁B₁C₁ - правильная призма: это означает, что ее боковые грани являются равными и равнобедренными треугольниками ABC и A₁B₁C₁, а основания ABCA₁B₁C₁ являются правильными шестиугольниками.
2. AA₁C₁C - квадрат: это говорит нам о том, что грань ABCA₁B₁C₁ - это квадрат, и угол A₁AC₁ равен 90°.
3. K - середина BB₁: это означает, что точка K является серединой ребра BB₁.

Теперь нарисуем призму ABCA₁B₁C₁ и обозначим известные данные:

javascriptCopy code
       A₁_______B₁
      / |      / |
     /  |     /  |
    /   |    /   |
   /____|___/____| 
  A     C   B     C₁
   \    |   |\    |
    \   |   | \   |
     \  |   |  \  |
      \ |   |   \ |
       \|___|____\|
       A₁   K    C

Мы знаем, что AC = 12√3. Также, поскольку ABCA₁B₁C₁ - правильная призма, то угол A = 90°. Из этого следует, что угол A₁ = 180° - 90° = 90°.

Теперь мы хотим найти угол между плоскостями АКС и АВС. Этот угол будет совпадать с углом между прямой KS и плоскостью ABCA₁B₁C₁.

Обратим внимание на треугольник ABC. Поскольку он равнобедренный, угол A = углу B = 90°, и угол C = 180° - 90° - 90° = 0°. Это значит, что треугольник ABC лежит в одной плоскости и образует угол 0° с плоскостью ABCA₁B₁C₁.

Теперь рассмотрим треугольник A₁BC₁. Углы A₁ и C₁ равны 90°, поскольку они прямые углы, и угол B₁ = 180° - 90° - 90° = 0°. Таким образом, треугольник A₁BC₁ также лежит в той же плоскости, что и треугольник ABC, и образует угол 0° с плоскостью ABCA₁B₁C₁.

Теперь рассмотрим треугольник A₁KC. Так как угол A₁ = 90°, угол K = 90°/2 = 45° (поскольку K - середина BB₁), и угол C = 0°, треугольник A₁KC лежит в другой плоскости, перпендикулярной плоскости ABCA₁B₁C₁.

Таким образом, угол между плоскостями АКС и АВС равен углу КСА₁, то есть 45°.

Итак, угол между плоскостями АКС и АВС составляет 45°.