Question

Чому дорівнює радіус кола вписаного в правильний трикутник зі стороною 18 см ?

Answer 1

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. В правильном треугольнике биссектриса это ещё медиана и высота. Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины. Таким образом радиус (r) вписанной окружности это треть от высоты треугольника.

Высота (h) правильного треугольника со стороной 18см:

h = 18·sin60° = 18·(√3)/2 = 9√3 см

r = h/3 = (9√3)/3 = 3√3 см

Ответ: 3√3 см.

Можно так же вывести формулу связи радиуса (r) вписанной в правильный треугольник окружности и стороны (а) треугольника.

$r=a\cdot \dfrac{\sqrt3 }2 \cdot \dfrac13 =\dfrac{a\sqrt3 }6$

Answer 2

Для правильного трикутника інсценівний коло (коло, що проходить через вершини трикутника і має центр всередині трикутника) і коло, вписане в трикутник (коло, що дотикається всіх сторін трикутника у своїх точках дотику), є одним і тим же колом.

Так як сторона правильного трикутника складає 18 см, ми можемо знайти радіус кола за допомогою формули для радіусу кола вписаного в трикутник:

Радіус кола вписаного в трикутник = Площа трикутника / Півпериметр трикутника.

Для правильного трикутника, півпериметр (півсума всіх сторін) дорівнює (3/2) * сторона:

Півпериметр = (3/2) * 18 см = 27 см.

Площа правильного трикутника може бути знайдена за допомогою формули Герона:

Площа = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)),

де a, b, і c - сторони трикутника, а s - півпериметр.

Підставимо значення a, b, c і s:

Площа = sqrt(27 * (27 - 18) * (27 - 18) * (27 - 18)) ≈ 113.14 см².

Тепер, радіус кола вписаного в трикутник:

Радіус = Площа / Півпериметр = 113.14 см² / 27 см ≈ 4.19 см.

Отже, радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі стороною 18 см, приблизно дорівнює 4.19 см.