Question

Найдите синус альфа тангенс альфа если косинус альфа равно 2/3

Answer 1

Sin^2 a+cos^2 a=1 => sin^2a=1-cos^2a =>
sin a= √1-(2/3)^2 = √1-(4/9)=√(9-4)/9=√5/9=(√5)/3
tg a= sin a/cos a=> tg a=(√5)/3 : 2/3 =(√5)/2
Ответ: sin a=(√5)/3 ; tg a=(√5)/2;

Answer 2

Для нахождения синуса и тангенса угла альфа, когда косинус альфа известен, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

У нас дано: cos(α) = 2/3

Тригонометрическое тождество: sin^2(α) + cos^2(α) = 1

Теперь подставим значение cos(α): sin^2(α) + (2/3)^2 = 1

sin^2(α) + 4/9 = 1

Теперь выразим sin(α): sin^2(α) = 1 - 4/9

sin^2(α) = 9/9 - 4/9

sin^2(α) = 5/9

sin(α) = ±√(5/9)

Так как синус - это отношение противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, то синус угла всегда положителен в первой и второй четвертях, а отрицателен в третьей и четвёртой четвертях.

Так как косинус альфа положителен (2/3 > 0), то угол альфа лежит в первой или четвёртой четверти, и синус угла также положителен:

sin(α) = √(5/9)

Теперь для нахождения тангенса воспользуемся определением тангенса как отношения синуса к косинусу:

tan(α) = sin(α) / cos(α)

tan(α) = (√(5/9)) / (2/3)

Чтобы разделить дроби, умножим числитель и знаменатель дроби tan(α) на обратное значение знаменателя:

tan(α) = (√(5/9)) * (3/2)

Теперь упростим выражение:

tan(α) = √(5/9) * 3/2

tan(α) = √(5/9) * 3/2 * (√(9/9) / (√(9/9)))

tan(α) = √(5/9 * 9/9) * 3/2

tan(α) = √(5/9) * 3/2

Итак, синус угла α равен √(5/9), а тангенс угла α равен √(5/9) * 3/2.