Question

В трапецию АВСД вписана окружность, которая касается боковой стороны АВ в точке К. Известно, что АК=8, КВ=3. Найдите радиус окружности.

Answer 1

Если в трапецию вписана окружность и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка  а и в,  то г=√(а*в).

r=√(8*3)=√24=2√6 (ед.)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности в трапецию.

Свойство 1: Для трапеции с окружностью, вписанной в неё, сумма длин оснований трапеции равна произведению радиуса окружности на 2.

Свойство 2: Для прямоугольного треугольника длина гипотенузы равна сумме квадратов длин катетов.

Обозначим радиус окружности как R. Также обратим внимание, что треугольник АКВ является прямоугольным, так как касательная к окружности проведена из вершины угла трапеции.

Из свойства 2 для треугольника АКВ: AV^2 = AK^2 + KV^2 AV^2 = 8^2 + 3^2 AV^2 = 64 + 9 AV^2 = 73 AV = √73

Так как AV является половиной суммы оснований трапеции, то по свойству 1: AV = (AB + CD) / 2 √73 = (AB + CD) / 2 AB + CD = 2 * √73

Также по свойству 1: AB + CD = 2 * R

Сравнивая эти два равенства, мы получаем: 2 * R = 2 * √73

Теперь найдем радиус R: R = √73

Таким образом, радиус окружности, вписанной в трапецию АВСД, равен √73.