Question

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, угол B — прямой. Вычисли углы треугольника A и C, а также центральные углы, если ∢EOF=126°. ∢A= ° ∢C= ° ∢DOE= ° ∢FOD= °

Answer 1

В условии ничего не сказано, где расположены точки E, F, D.
Так как в треугольник вписана окружность, можно предположить, что E, F, D - точки касания. Тогда возможно 4 варианта расположения точек с учётом угла ∠EOF = 126° 
Для решения нужно знать:
Радиус в точку касания образует прямой угол с касательной.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°

1) Точки E и D - точки касания катетов, F - точка касания гипотенузы
Четырёхугольник AFOE :
∠A = 360°-∠EOF -∠AEO -∠AFO = 360°-126°-90°-90° = 54°
ΔABC - прямоугольный, ∠B = 90°, ∠A = 54°
∠С = 90° - ∠A = 90° - 54° = 36°
BEOD - квадрат ⇒ ∠DOE = 90°
Четырёхугольник CFOD :
∠FOD = 360° -∠CFO -∠CDO -∠C = 360°-90°-90°-36° = 144°

2) Точки F и D - точки касания катетов, E - точка касания гипотенузы
Четырёхугольник CFOE :
∠C = 360°-∠EOF -∠CEO -∠CFO = 360°-126°-90°-90° = 54°
ΔABC - прямоугольный, ∠B = 90°, ∠C = 54°
∠A = 90° - ∠C = 90° - 54° = 36°
BFOD - квадрат ⇒ ∠DOF = 90°
Четырёхугольник AEOD :
∠EOD = 360° -∠AEO -∠ADO -∠A = 360°-90°-90°-36° = 144°

Как видно из решения, меняются обозначения точек, но величины углов получаются одинаковыми. Такими же они и останутся для вариантов 3 и 4, если обозначение точек касания катетов поменять местами.

Ответ независимо от буквенного обозначения:
острые углы будут равны 54° и 36°,
центральные углы будут равны  126°, 90°, 144°

Answer 2

Для решения задачи обозначим следующие углы:

∠A - угол A треугольника ABC. ∠C - угол C треугольника ABC. ∠EOF - центральный угол, соответствующий дуге EF. ∠DOE - центральный угол, соответствующий дуге DE. ∠FOD - центральный угол, соответствующий дуге FD.

Так как треугольник ABC вписанный, то угол B является прямым углом. Также известно, что сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Угол B равен 90°, поэтому:

∠A + 90° + ∠C = 180°.

Теперь найдем значения ∠A и ∠C:

∠A = 180° - 90° - ∠C, ∠A = 90° - ∠C.

Теперь нам дано значение угла ∠EOF, который является центральным углом, соответствующим дуге EF. Центральный угол измеряется вдвое больше соответствующего ему центрального угла, поэтому:

∠EOF = 2 * ∠FOD, 126° = 2 * ∠FOD.

Теперь найдем значение угла ∠FOD:

∠FOD = 126° / 2, ∠FOD = 63°.

Так как треугольник ABC вписанный, то центральные углы ∠DOE и ∠EOF равны половине их соответствующих дуг DE и EF:

∠DOE = ∠EOF = 63°.

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы вычислить углы ∠A и ∠C:

∠A = 90° - ∠C, ∠A = 90° - 63°, ∠A = 27°.

∠C = 90° - ∠A, ∠C = 90° - 27°, ∠C = 63°.

Итак, углы треугольника ABC равны: ∠A = 27°, ∠B = 90°, ∠C = 63°.

Также, центральные углы ∠DOE и ∠EOF равны 63°, а угол ∠FOD равен 63°.