Question

сторона АС треугольника ABC точкой Е делится в отношении 2:3 докажите что ВЕ делит площадь треугольника в отношении 2:3

Answer 1

Из условия понятно, что AE:EC=2:3
Площадь треугольника ABE по формуле равна 1/2hAE
А треугольника CBE равна 1/2hEC
где h - высота(она одинакова для обоих треугольников)
Запишем отношение площадей
1/2hAE:1/2hEC=AE:EC=2:3

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок ВЕ делит площадь треугольника ABC в отношении 2:3, мы можем использовать свойство, которое гласит, что если два треугольника имеют равные высоты относительно одной и той же стороны, то их площади относятся так же, как соответствующие основания.

Пусть отрезок АС имеет длину "2х", а отрезок ВЕ имеет длину "3х", где "х" - произвольная положительная константа.

Теперь рассмотрим треугольники АСЕ и ВСЕ, у которых общая высота ЕС одинакова (так как это отрезок ЕС, который не меняется). Следовательно, нам нужно сравнить площади этих двух треугольников относительно соответствующих им оснований - отрезков АЕ и СЕ.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на соответствующую высоту.

Площадь треугольника АСЕ = (1/2) * АЕ * ЕС Площадь треугольника ВСЕ = (1/2) * СЕ * ЕС

Учитывая, что отрезок АЕ имеет длину "2х", а отрезок СЕ имеет длину "3х", подставим значения в уравнения для площадей:

Площадь треугольника АСЕ = (1/2) * (2х) * ЕС = х * ЕС Площадь треугольника ВСЕ = (1/2) * (3х) * ЕС = (3/2) * х * ЕС

Таким образом, площадь треугольника АСЕ равна х * ЕС, а площадь треугольника ВСЕ равна (3/2) * х * ЕС.

Теперь нам нужно сравнить площади этих двух треугольников, чтобы выяснить, в каком отношении они делятся.

Площадь треугольника АСЕ : Площадь треугольника ВСЕ = х * ЕС : (3/2) * х * ЕС

Заметим, что ЕС находится в числителе и знаменателе и сокращается. Получим:

Площадь треугольника АСЕ : Площадь треугольника ВСЕ = 1 : (3/2)

Домножим числитель и знаменатель на 2:

Площадь треугольника АСЕ : Площадь треугольника ВСЕ = 2/3

Таким образом, мы доказали, что отрезок ВЕ делит площадь треугольника ABC в отношении 2:3.