Question

Бічна сторона рівнобічної трапеції утворює з основою кут 60°, а висота трапеції дорівнює 6√3. Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло.

Answer 1

∠ЕЦУ = 60° по условию
∠КЦУ = 1/2*∠ЕЦУ = 30°
В ΔКЦУ катет КУ равен радиусу вписанной окружности
КУ = 6√3/2 = 3√3
Это катет против угла в 30 градусов, гипотенуза в 2 раза больше
КЦ = 2*КУ = 6√3
По теореме Пифагора найдём второй катет
ЦУ² + КУ² = КЦ²
ЦУ² + (3√3)² = (6√3)²
ЦУ² + 9*3 = 36*3
ЦУ² + 27 = 108
ЦУ² = 81
ЦУ = 9
ЦЩ = ЦУ*2 = 18
Тупой угол при верхнем основании
∠ЕНГ = 180 - ∠ЕЦУ = 180 - 60 = 120°
∠ГНК = 1/2*∠ЕНК = 120/2 = 60°
В ΔНГК
ГК = 3√3
∠НКГ = 180 - 90 - 60 = 30°
НК = 2*НГ
НК² = НГ² + ГК²
(2*НГ)² = НГ² + (3√3)²
4*НГ² = НГ² + 9*3
3*НГ² = 27
НГ² = 9
НГ = 3
НШ = 2*НГ = 6
S = 1/2*(ЦЩ + НШ)*ГУ = 1/2*(18 + 6)*6√3 = 12*6√3 = 72√3

Answer 2

Для того щоб знайти площу трапеції, нам потрібно знати довжини її основ і висоту. Але на щастя, відомі вам декілька даних: кут між бічною стороною і однією з основ трапеції дорівнює 60°, а висота трапеції дорівнює 6√3.

Оскільки ви зазначили, що до цієї трапеції можна вписати коло, це означає, що це є вписана в коло трапеція. Вписана в коло трапеція має цікаву властивість: сума довжин двох протилежних сторін трапеції дорівнює діаметру кола.

Позначимо довжини сторін трапеції таким чином: AB - основа більша CD - основа менша BC - одна з бічних сторін

Тоді діаметр кола дорівнює AB + CD, і ми можемо записати:

AB + CD = Діаметр кола

Ми знаємо, що кут між AB і BC дорівнює 60°, тому трикутник ABC - рівносторонній трикутник. Оскільки BC - бічна сторона трапеції і також одна зі сторін рівностороннього трикутника, ми можемо знайти довжину BC.

У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, тому BC = AB.

Тепер ми можемо записати співвідношення для діаметра кола:

AB + CD = 2 * BC

AB + CD = 2 * AB

Тепер можемо знайти довжину CD:

CD = AB

Тепер ми знаємо довжини основ трапеції: AB і CD.

Знаючи довжини основ і висоту трапеції, ми можемо знайти її площу за формулою:

Площа = ((AB + CD) * h) / 2

де h - висота трапеції.

Підставляємо відповідні значення:

Площа = ((AB + AB) * 6√3) / 2

Площа = (2 * AB * 6√3) / 2

Площа = 6 * AB * √3

Тепер нам потрібно знайти довжину AB. Для цього ми можемо використати трикутник ABC.

За теоремою синусів ми можемо записати:

AB / sin(60°) = BC / sin(90°)

sin(60°) = √3 / 2

sin(90°) = 1

Тепер можемо знайти AB:

AB / (√3 / 2) = BC / 1

AB = BC * (√3 / 2)

Але ми також знаємо, що BC = AB, тому:

AB = AB * (√3 / 2)

Тепер знайдемо AB:

AB * (√3 / 2) = AB

AB * √3 = AB

√3 = 1 (підіймаємо AB до однакових сторін рівняння)

AB = 1 / √3

AB = √3 / 3

Тепер, коли ми знаємо AB, ми можемо обчислити площу трапеції:

Площа = 6 * (√3 / 3) * √3

Площа = 6 * (√3)^2 / 3

Площа = 6 * 3 / 3

Площа = 6 квадратних одиниць.

Таким чином, площа трапеції дорівнює 6 квадратних одиниць.