Question

Дан шестиугольник A1 A2 A3 A4 A5 A6. его стороны A1 A2 и A4 A5, A2 A3 и A5 A6,A3 A4 и A6 A1 попарно равны и паралельны используя центральную симметрию, докажите , что диагонали A1 A4, A2 A5, A3 A6 данного шестиугольника пересекаются в одной точке

Answer 1

Все полученные треугольники равны (по стороне и двум углам при ней). Это означает, что диагонали в точке их пересечения делятся пополам. Поэтому у фигуры есть центр симметрии. И все диагонали, соединяющие центрально симметричные вершины проходят через центр симметрии и делятся им пополам.

Answer 2

Для доказательства, что диагонали A1 A4, A2 A5, A3 A6 пересекаются в одной точке, воспользуемся свойствами центральной симметрии.

По условию, стороны A1 A2 и A4 A5, A2 A3 и A5 A6, A3 A4 и A6 A1 попарно равны и параллельны. Давайте проведем диагонали A1 A4 и A2 A5 и обозначим точку их пересечения как O.

Теперь рассмотрим центральную симметрию с центром в точке O, которая переводит шестиугольник A1 A2 A3 A4 A5 A6 в себя. В результате центральной симметрии стороны, соединяющие соответствующие вершины, будут пересекаться в одной точке, так как точка O - центр симметрии, и расстояние от точки O до любой вершины шестиугольника остается неизменным.

Таким образом, диагонали A1 A4, A2 A5, A3 A6 пересекаются в одной точке O, что и требовалось доказать.