Question

Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию в отношении 4 : 3 , считая от вершины, а основание равно 53 , 4 см.

Answer 1

Решение на фото............

Answer 2

Для решения этой задачи, обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника как "b", а высоту как "h". Пусть "O" - центр вписанной окружности, а "M" - точка, в которой вписанная окружность касается основания треугольника.

Мы знаем, что центр вписанной окружности делит высоту "h" в отношении 4:3, считая от вершины, то есть:

Высота HM = 3/7 * h Высота MO = 4/7 * h

Также, по свойству вписанного угла, из треугольника HMO:

HO * HM = MO^2

Теперь нам нужно выразить HO, HM и MO через "b" и "h". Для этого рассмотрим треугольник HOB:

По теореме Пифагора: HO^2 = HB^2 - BO^2

Также, по свойству касательной, BO является средней пропорциональной между HM и b:

BO = √(HM * b)

Теперь мы можем выразить HO через "b" и "h":

HO^2 = HB^2 - (√(HM * b))^2 HO^2 = HB^2 - (HM * b) HO^2 = (h^2 - (b/2)^2) - (3/7 * h * b)

Теперь выразим MO через "b" и "h":

MO^2 = OB^2 = (b/2)^2 MO^2 = (b^2)/4

Теперь мы можем записать уравнение для HO * HM = MO^2:

(h^2 - (b/2)^2) - (3/7 * h * b) * (3/7 * h) = (b^2)/4

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (b), которую мы можем решить. После того, как найдем значение "b", мы сможем найти все остальные стороны и размеры с помощью соотношений, указанных в задаче. Я решу это уравнение:

(h^2 - (b/2)^2) - (3/7 * h * b) * (3/7 * h) = (b^2)/4

В данном случае, высота "h" и основание "b" известны:

Высота h = 53.4 см Отношение HM : MO = 3 : 4

Мы можем найти HM и MO:

HM = (3/7) * h HM = (3/7) * 53.4 HM = 22.8 см

MO = (4/7) * h MO = (4/7) * 53.4 MO = 30.6 см

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем HO:

HO^2 = HM^2 + MO^2 HO^2 = 22.8^2 + 30.6^2 HO^2 = 520.44 + 936.36 HO^2 = 1456.8

HO = √1456.8 HO ≈ 38.17 см

Теперь мы можем записать уравнение для HO * HM = MO^2:

(h^2 - (b/2)^2) - (3/7 * h * b) * (3/7 * h) = (b^2)/4

Подставим известные значения и найденное HO:

(53.4^2 - (b/2)^2) - (3/7 * 53.4 * b) * (3/7 * 53.4) = (b^2)/4 (2856.36 - (b^2)/4) - (3/7 * 53.4 * b) * (3/7 * 53.4) = (b^2)/4 2856.36 - (b^2)/4 - 22.8 * b * 3/7 * 3/7 = (b^2)/4 2856.36 - (b^2)/4 - 11.4 * b ≈ (b^2)/4 2856.36 - 11.4 * b ≈ (b^2)/4 + (b^2)/4 2856.36 - 11.4 * b ≈ (2 * b^2)/4 2856.36 - 11.4 * b ≈ (b^2)/2 2 * (2856.36 - 11.4 * b) ≈ b^2 5712.72 - 22.8 * b ≈ b^2

Теперь перенесем все в левую часть уравнения:

b^2 + 22.8 * b - 5712.72 ≈ 0

Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac. Решим:

D = (22.8)^2 - 4 * 1 * (-5712.72) D = 519.84 + 22850.88 D = 23370.72

Теперь найдем корни уравнения:

b = (-22.8 ± √(23370.72)) / 2 b = (-22.8 ± 152.87) / 2

Таким образом, получаем два значения:

1. b = (-22.8 + 152.87) / 2 b = 130.07 / 2 b ≈ 65.04 см

2. b = (-22.8 - 152.87) / 2 b = -175.67 / 2 b ≈ -87.83 см

Исходя из смысла задачи, нам подходит только положительное значение боковой стороны:

b ≈ 65.04 см

Так