Question

Нйдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана,заключённая между ними, равна 5.

Answer 1

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, заключённая между ними, равна 5.

▔ ▔ ▔

★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★

Дано:

ΔАВС.

АВ = 6.

ВС = 8.

ВО — медиана = 5.

Найти:

S(ΔАВС) = ?

Решение:

Достроим ΔАВС до параллелограмма ABCD как показано на рисунке.

▸Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам◂

Следовательно —

$BO = OD = 5.$

Тогда —

$DB = BO+OD\\\\DB = 5+5\\\\DB = 10.$

▸Противоположные стороны параллелограмма равны◂

AD и ВС — противоположные стороны.

Следовательно —

$AD=BC=8.$

Рассмотрим ΔABD.

▸Если сумма квадратов двух сторон равна квадрату большей стороны, то такой треугольник — прямоугольный (теорема, обратная теореме Пифагора)◂

Проверим стороны ΔABD —

$AD^{2} +AB^{2} = BD^{2}$

Подставим известные нам численные значения —

$8^{2} +6^{2} = 10^{2}\\\\64+36=100\\\\\boxed{100=100}$

Мы получили верное равенство, следовательно, ΔABD — прямоугольный (∡A = 90°).

▸Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник◂

То есть, параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Тогда, по определению прямоугольника —

∡А = ∡В = ∡С = ∡D = 90°.

Рассмотрим ΔАВС — прямоугольный.

▸Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов◂

Следовательно —

$\boxed{S(\triangle ABC)=\frac{AB*BC}{2} }$

Подставим в формулу известные нам численные значения —

$S(\triangle ABC)=\frac{6*8}{2} \\\\S(\triangle ABC)=\frac{48}{2} \\\\\boxed{S(\triangle ABC)=24}$

Ответ:

24 (ед²).

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади треугольника через медиану, если известны длины сторон, между которыми она проведена.

Пусть треугольник ABC имеет стороны AB и AC длины 6 и 8 соответственно, а медиана AM длины 5.

Медиана треугольника делит другую сторону пополам, поэтому BM = MC = 5/2 = 2.5.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу для площади через медиану:

Площадь треугольника ABC = (2/3) * (площадь треугольника AMB).

Давайте теперь найдем площадь треугольника AMB, используя известные длины сторон:

Сначала найдем высоту треугольника AMB из точки M на сторону AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Высота HM^2 = AM^2 - AH^2, где AH - половина стороны AC.

AH = 8/2 = 4.

HM^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9.

HM = √9 = 3.

Теперь можем найти площадь треугольника AMB:

Площадь треугольника AMB = (1/2) * AB * HM = (1/2) * 6 * 3 = 9.

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника ABC = (2/3) * Площадь треугольника AMB = (2/3) * 9 = 6.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 6 квадратных единиц.