Question

Помогите срочно решить задачу пожалуйста - Один из углов прямоугольного треугольника = 60° , а сумма гипотенузы и меньшего катета = 18см. Найдите гипотенузу и меньший катет. Заранее благодарю.

Answer 1

Против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы, также против меньшего угла лежит меньшая сторона, следовательно, если обозначить меньший катет за x, то гипотенуза будет 2x. x + 2x = 18
3x = 18
x = 6
Ответ: гипотенуза 12, меньший катет 6

Answer 2

Давайте обозначим гипотенузу как $c$ и меньший катет как $a$.

У нас есть следующая информация: Угол: $\angle ACB = 60^\circ$ Сумма гипотенузы и меньшего катета: $c + a = 18$ см

Мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике для нахождения $c$ и $a$.

1. Мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\angle ACB) = \frac{a}{c}$

2. Также, из тригонометрических соотношений для 60 градусов мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используя эти два уравнения, мы можем найти $a$ и $c$:

$\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы можем подставить это выражение для $a$ в уравнение $c + a = 18$ и решить уравнение:

$c + \frac{c\sqrt{3}}{2} = 18$

Для удобства, давайте представим 18 как $\frac{36}{2}$:

$c + \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{36}{2}$

Теперь можно вынести $c$ за скобки:

$c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{36}{2}$

И выразить $c$:

$c = \frac{18}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Для дальнейших вычислений, упростим знаменатель:

$c = \frac{18}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}$

Для удобства, умножим числитель и знаменатель на 2:

$c = \frac{36}{2 + \sqrt{3}}$

Теперь найдем $a$, подставив $c$ в выражение, которое мы получили ранее:

$a = \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{36}{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2(2 + \sqrt{3})}$

Мы можем упростить это выражение, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3} - 2$:

$a = \frac{36\sqrt{3}}{2(2 + \sqrt{3})} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2} = \frac{36\sqrt{3}(\sqrt{3} - 2)}{2(3 - 2)} = 18\sqrt{3}(\sqrt{3} - 2)$