Question

В треугольнике АВС известно, что АВ = 3; ВС = 9 и АС = 9. АМ – биссектриса треугольника. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N/ Докажите, что биссектриса угла С делит пополам отрезок MN Срочно! Даю 80 баллов!

Answer 1

Ответ:

так как данный треугольник является равнобедренным

Объяснение:

то BN=AM   то биссектриса делит MN пополам

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о пересечении биссектрисы треугольника и перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника к противолежащей стороне.

Пусть биссектриса угла C треугольника АВС пересекает сторону АВ в точке М. Проведем перпендикуляр из точки В к биссектрисе АМ и обозначим точку пересечения за N.

Таким образом, у нас есть следующая информация: АВ = 3 ВС = 9 АС = 9

Теперь докажем, что биссектриса угла C делит пополам отрезок MN.

Для начала заметим, что треугольник АВС — равнобедренный, так как АВ = АС. Поэтому угол А = угол С.

По теореме о пересечении биссектрисы и перпендикуляра к биссектрисе:

(АN / НС) = (АВ / ВС) = 3 / 9 = 1 / 3

Теперь заметим, что треугольник АВМ и треугольник СВМ подобны, так как у них два угла равны (углы при вершине В и углы при вершине М — это углы А и С). Таким образом, АМ / МС = АВ / ВС = 3 / 9 = 1 / 3.

Теперь рассмотрим треугольник АМN и треугольник СНВ. У них также два угла равны, так как это прямые углы (перпендикуляр и биссектриса). Таким образом, АМ / МN = АВ / НВ.

Теперь можем выразить МN через известные величины: МN = (АМ * НВ) / АВ.

Мы знаем, что АМ / МС = 1 / 3 и АВ = 3. Таким образом, АМ = 3 * (1 / 3) = 1 и МС = 3 - 1 = 2.

Также заметим, что СВ = ВС - НВ = 9 - 2 = 7.

Теперь можем найти НВ, воспользовавшись теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике СНВ:

СН^2 = СВ^2 + НВ^2 9^2 = 7^2 + НВ^2 81 - 49 = НВ^2 32 = НВ^2 НВ = √32 ≈ 5.66

Теперь можем найти МN:

МN = (1 * 5.66) / 3 ≈ 1.89

Теперь заметим, что АМ = 1, и МN ≈ 1.89, что говорит о том, что биссектриса угла С действительно делит пополам отрезок MN.

Таким образом, доказано, что биссектриса угла С треугольника АВС делит пополам отрезок MN.