Question

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK=15.

Answer 1

Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.
Угол PBK прямой, следовательно PK - диаметр. BH=PK=15

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и обозначим необходимые величины на рисунке:

cssCopy code
               C
               /\
              /  \
             /    \
            /      \
         P /        \ K
          /          \
         /            \
        /______________\
       A        H       B

Мы знаем, что точка H является основанием высоты из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Значит, угол ABC прямой (90 градусов).

Также, дано, что окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. То есть, точки P, H и K лежат на окружности с диаметром BH.

Из этой информации следует, что треугольник BPH - прямоугольный, так как угол BPH (угол вписанный в окружность, опирающийся на диаметр) равен 90 градусов, а угол B также равен 90 градусов.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник BPK. У нас есть информация, что PK = 15.

Далее, по теореме Пифагора для треугольника BPH:

BH^2 = BP^2 + PH^2

Также, для треугольника BPK:

BH^2 = BP^2 + PK^2

Так как оба выражения равны одной и той же величине (BH^2), то мы можем приравнять их:

BP^2 + PH^2 = BP^2 + PK^2

Теперь мы можем выразить PH (высоту) через PK:

PH^2 = PK^2

PH = sqrt(PK^2) = sqrt(15^2) = sqrt(225) = 15

Теперь у нас есть высота PH, и мы можем использовать её, чтобы найти BH, так как треугольник BPH прямоугольный:

BH = sqrt(BP^2 + PH^2)

Мы знаем, что BP = PK = 15, поэтому:

BH = sqrt(15^2 + 15^2) = sqrt(225 + 225) = sqrt(450) ≈ 21.21

Таким образом, длина BH примерно равна 21.21 (округленно до двух знаков после запятой).