Question

Радиус окружности,вписанной в равносторонний треугольник,равен 4 корня из 3.Найдите сторону треугольника.

Answer 1

Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис.

В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются также высотами и медианами.

h =a*sin60 =√3/2 a

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины.

r =1/3 h =√3/6 a

a =6/√3 r =6/√3 *4√3 =24

Или

Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности (O).

В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются также высотами и медианами.

OH=4√3 (радиус), AC=2AH

В треугольнике (AOH) с углами 30, 90 стороны относятся как 1 :√3 :2

(катет против угла 30 равен половине гипотенузы, далее по теореме Пифагора)

AH=OH*√3 => AC=OH*2√3 =4√3 *2√3 =24

Answer 2

Чтобы найти сторону равностороннего треугольника, в котором радиус вписанной окружности равен $4\sqrt{3}$, давайте воспользуемся соотношениями, связанными с вписанными окружностями в равносторонних треугольниках.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус $r$ вписанной окружности и длина $h$ высоты, опущенной из вершины на сторону, связаны следующим образом:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

$h = a\sqrt{3}$

где $r$ - радиус вписанной окружности, $h$ - длина высоты, $a$ - сторона треугольника.

В нашем случае $r = 4\sqrt{3}$, поэтому:

$4\sqrt{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Чтобы найти $a$, домножим обе стороны на $2\sqrt{3}$:

$a = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

Таким образом, сторона треугольника равна $8\sqrt{3}$.