Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CH и медиана BK, причем BK = CH, а также равны углы KBC и HCB. Докажите, что треугольник ABC – равносторонний. Пожалуйста с решением!

Answer 1

Рассмотрим треугольники BHC и KBC; У них равны углы HCB и KBC;
Известно, что BK=HC; Заметим, что BK/BC = HC/BC так как BK = HC; Значит эти треугольники подобны. BHC - прямоугольный, значит BKC - тоже прямоугольный с прямым углом BKC; То есть BK и медиана и высота, но еще и биссектриса. Значит углы ABK и KBC равны; Треугольники HBO и KOC подобны (прямые углы и HOB = KOC как вертикальные). Значит угол HBO равен углу HCA; Значит HC - высота и биссектриса. С одной стороны, AB = BC, поскольку BK - высота, биссектриса и медиана, с другой BC = AC, поскольку CH - высота, биссектриса и медиана. Значит AB = BC = AC, что означает, что треугольник равносторонний

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC является равносторонним, мы будем использовать свойства остроугольных треугольников и свойства медианы.

Пусть угол BAC обозначается как α.

Так как угол ABC и угол ACB являются острыми, то высота CH лежит внутри треугольника ABC.

Обозначим точку пересечения медианы BK и высоты CH как точку M.

Так как BK - медиана, она делит сторону AC пополам. Значит, AM = MC.

Также, так как BK = CH, и углы KBC и HCB равны, треугольники KBC и HCB являются равнобедренными.

Теперь рассмотрим треугольник BMC. Так как AM = MC и BM - медиана, то точка M является серединой стороны BC.

Таким образом, BM = MC = BK = CH.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть равенство сторон:

AB = BC = CA (по определению равностороннего треугольника).

Таким образом, все три стороны треугольника ABC равны между собой, что и означает, что треугольник ABC является равносторонним.