Question

Точка Е - середина боковой стороны АВ трапеции АВСД. Доказать, что площадь треугольника ЕСД равна половине площади трапеции.

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для доказательства того, что площадь треугольника ЕСД равна половине площади трапеции АВСД, можно воспользоваться следующими шагами:

Пусть:

• AB - основание трапеции;
• CD - другое основание трапеции;
• ES - высота треугольника ЕСД (то есть перпендикуляр из точки E на сторону CD);
• H - точка пересечения диагоналей трапеции АВСД (то есть точка, где AD и BC пересекаются);
• M - середина отрезка AB (то есть точка, где АВ делится пополам).

Теперь давайте докажем, что площадь треугольника ЕСД равна половине площади трапеции АВСД:

Шаг 1: Докажем, что EM || CD. Из условия, что Е - середина боковой стороны АВ, следует, что EM делит АВ пополам, то есть EM = MB. А также из условия, что М - середина АВ, следует, что МH делит АВ пополам, то есть МH = HB. Теперь у нас есть две прямые, которые делят сторону CD на три равные части: EM делит CD пополам, а МH делит CD пополам. Это возможно только в том случае, если EM || CD.

Шаг 2: Докажем, что треугольники ЕСД и СХВ подобны. Так как EM || CD и Е - середина боковой стороны АВ, то по теореме о параллельных линиях треугольники ЕСД и СХВ подобны.

Шаг 3: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сторон. Поскольку треугольники ЕСД и СХВ подобны, то отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения их сторон: Площадь(ЕСД) / Площадь(СХВ) = (ES / SH)^2.

Шаг 4: Докажем, что SH = 2EM. Так как Е - середина АВ, то EM = MB, и также, так как М - середина AB, то МH = HB. Следовательно, SH = SM + MH = 2EM.

Шаг 5: Подставим SH = 2EM в предыдущее равенство. Получаем: Площадь(ЕСД) / Площадь(СХВ) = (ES / 2EM)^2.

Шаг 6: Докажем, что площади треугольников ЕСД и СХВ равны. Так как Е - середина боковой стороны АВ, то высота ES равна высоте SH (по параллельности прямых). Таким образом, площади треугольников ЕСД и СХВ равны.

Шаг 7: Докажем, что площадь треугольника СХВ равна половине площади трапеции АВСД. Треугольник СХВ - это половина трапеции АВСД, так как М - середина основания AB, и Х - точка пересечения диагоналей трапеции (H).

Таким образом, площадь треугольника ЕСД равна половине площади трапеции АВСД, что и требовалось доказать.