Question

На гипотенузе прямоугольного треугольника, площадь которого равна 9, лежит центр окружности, которая имеет радиус 2 и касается катетов. Надо найти длины катетов

Answer 1

S△ABC = AC * CB : 2

AC * CB : 2 = 9

AC * CB = 18

OM и ON высоты треугольников AOC и BOC соответственно

OM = ON = r

S△ = 1/2 a * h

S△ABC =  S△AOC + S△BOC

9 = 1/2AC * 2 + 1/2CB * 2

AC + CB = 9 и AC * CB = 18

9 = 8 + 1 = 7 + 2 = 6 + 3 = 5 + 4

8 * 1 = 8; 7 * 2 = 14; 6 * 3 = 18; 5 * 4 = 20

Ответ: катеты равны 6 см и 3 см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и окружности, касающейся его катетов.

Обозначим длины катетов через a и b, а длину гипотенузы через c.

Известно, что площадь прямоугольного треугольника равна 9:

Площадь = (a * b) / 2 = 9

Также известно, что радиус окружности, касающейся катетов, равен 2. Это значит, что расстояние от вершин прямоугольного треугольника до точки касания окружности с катетами равно радиусу окружности.

Так как окружность касается обоих катетов, то точка касания будет находиться на расстоянии 2 от вершин каждого из катетов. Поэтому можно составить систему уравнений:

a - 2 = h (1) (где h - высота треугольника из вершины a) b - 2 = h (2) (где h - высота треугольника из вершины b)

Теперь мы можем выразить высоту h через a и b из одного уравнения и подставить в другое уравнение:

Из уравнения (1): h = a - 2

Подставим выражение для h в уравнение (2): b - 2 = a - 2

Теперь выразим b через a: b = a

Теперь у нас есть выражения для a и b через одну переменную a:

a * a / 2 = 9

Упростим уравнение: a^2 = 18

Теперь найдем a: a = √18 ≈ 4.24

Так как b = a, то b ≈ 4.24.

Итак, длины катетов прямоугольного треугольника примерно равны 4.24, а длина гипотенузы c может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2 c^2 = (4.24)^2 + (4.24)^2 c^2 ≈ 18 + 18 c^2 ≈ 36 c ≈ √36 c ≈ 6

Таким образом, длины катетов приближенно равны 4.24, а длина гипотенузы примерно равна 6.