Question

Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов . В основании пирамиды треугольник со сторонами равными корень из 3 см, 2см,3 см. Найти объём пирамиды

Answer 1

Равный наклон рёбер = вершина пирамиды лежит над центром описанной окружности
--- 1 ---
Площадь по формуле Герона
полупериметр
p = (√3 + 2 + 3)/2 = (√3 + 5)/2 см
Площадь
S² = p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
S² = (√3 + 5)/2*((√3 + 5)/2-√3)*((√3 + 5)/2-2)*((√3 + 5)/2-3)
S² = 1/2⁴*(√3 + 5)*(5 - √3)*(√3 + 1)*(√3 - 1)
S² = 1/2⁴*(5² - (√3)²)*((√3)² - 1²)
S² = 1/2⁴*(25 - 3)*(3 - 1)
S² = 1/2⁴*22*2
S² = 1/2²*11 = 11/4
S = √11/2 см²
--- 2 ---
Радиус описанной окружности
R = abc/(4S)
R = √3*2*3/(4√11/2) = 3√(3/11) см
--- 3 ---
Гипотенуза с - ребро, высота h - катет против угла в 30°, радиус описанной окружности - второй катет
Теорема Пифагора
c²  = h² + R²
Гипотенуза в 2 раза длиннее катета против угла в 30°
(2h²) = h² + R²
3h² = R²
h = R/√3
h = 3√(3/11)/√3 = 3/√11 см
--- 4 ---
Объём
V = 1/3*S*h
V = 1/3 *  √11/2 * 3/√11 = 1/2 см³

Answer 2

Чтобы найти объем пирамиды, нужно знать площадь её основания и высоту. Мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h,

где V - объем пирамиды, S_base - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала, найдем площадь основания пирамиды. У нас есть треугольник со сторонами равными 3 см, 2 см и 3 см. Для вычисления площади такого треугольника воспользуемся формулой Герона:

S_base = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где a, b и c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

Вычислим полупериметр:

p = (3 + 2 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4.

Теперь вычислим площадь основания:

S_base = √(4 * (4 - 3) * (4 - 2) * (4 - 3)) = √(4 * 1 * 2 * 1) = √8 ≈ 2.83 см².

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Мы знаем, что боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов. Так как у нас равнобедренный треугольник, то боковое ребро равно стороне 3 см (корень из 3 см) треугольника. Разделим его на два прямоугольных треугольника и найдем высоту одного из них.

Треугольник наклоненный к плоскости основания будет иметь высоту, равную:

h_tri = сторона * sin(угол наклона) = √3 * sin(30°) ≈ 1.5 см.

Так как у нас два таких треугольника, полная высота пирамиды будет:

h = 2 * h_tri = 2 * 1.5 см = 3 см.

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * 2.83 см² * 3 см ≈ 2.83 см³.

Ответ: объем пирамиды составляет примерно 2.83 кубических сантиметра.