Question

Центр кола ,вписаного у рівнобедрений трикутник ,ділить висоту ,проведену до основи ,на відрізки , довжини яких дорівнюють 5 см і 13 см.Згайдіть периметр трикутника

Answer 1

Первый вариант
---
По т. Пифагора
ВЕ² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
ВЕ = 12 см
---
из подобия ΔОВЕ и ΔВНС (один угол общий, и один угол прямой)
коэффициент подобия
k = ВН/ВЕ = (13 + 5)/12 = 18/12 = 3/2
НС = k*OE = 3/2*5 = 15/2 = 7,5 см
ВС = k*ВО = 3/2*13 = 39/2 = 19,5 см
АС = 2*НС = 15 см
Периметр
15 + 19,5*2 = 15 + 39 = 54 см

Answer 2

Позначимо центр кола, вписаного у рівнобедрений трикутник, за O. Позначимо висоту, проведену до основи, за h. Позначимо точки дотику кола до сторін трикутника за A і B.

Так як O є центром вписаного кола, то OA і OB - радіуси кола. Тому, за властивостями вписаного кута, ми маємо, що прямі OA і OB є перпендикулярними до відповідних сторін трикутника.

Також, знаючи, що точка O ділить висоту h на дві частини, довжини яких дорівнюють 5 см і 13 см, ми можемо сформулювати такі рівняння:

OA + OB = 13 (1) (за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного OA, OB і h) OA - OB = 5 (2) (так як OA і OB є перпендикулярними до сторін трикутника, то вони мають доповнювати один одного)

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь для знаходження OA і OB.

Додамо рівняння (1) і (2) разом:

OA + OB + OA - OB = 13 + 5 2OA = 18 OA = 9

Тепер можемо знайти OB, підставивши значення OA у рівняння (2):

9 - OB = 5 OB = 4

Тепер маємо радіуси OA = 9 і OB = 4. І так як O є центром вписаного кола, то периметр трикутника можна знайти за допомогою такої формули:

Периметр трикутника = AB + AC + BC

Але ми знаємо, що OA і OB є перпендикулярними до сторін трикутника, тому ми можемо записати:

AB = 2 * OB = 2 * 4 = 8 AC = 2 * OA = 2 * 9 = 18 BC = 2 * OB = 2 * 4 = 8

Тепер знаходимо периметр:

Периметр трикутника = AB + AC + BC = 8 + 18 + 8 = 34 см

Отже, периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 34 см.