Question

1. В треугольнике ABC высота ВН делит сторону АС пополам. Биссектриса треугольника AD равна 15 см. Найдите длину биссектрисы СЕ этого треугольника. 2. В треугольнике АВС высота BD делит угол АВС пополам. Медиана СЕ равна 12 см Найдите длину медианы AF. Здесь две задачи. Заранее спасибо.

Answer 1

решение - в приложении

Answer 2

Биссектриса 15, а медиана 12, т.к. треугольник равнобедренный.

Answer 3

1. Длина биссектрисы СЕ треугольника ABC: По условию, высота ВН делит сторону АС пополам. Обозначим точку пересечения биссектрисы AD и высоты ВН за точку М.

Таким образом, ВМ = МН = 15 см (так как биссектриса делит угол пополам).

Теперь рассмотрим треугольник ВМС. Он равнобедренный, так как ВМ = МН. Значит, угол МВС также равен углу МСВ.

Теперь обратим внимание на треугольник ABC. Так как биссектриса AD делит угол ВАС пополам, то угол МСВ тоже делит угол ВАС пополам.

Из этого следует, что треугольники АВМ и СМС подобны согласно признаку угловой подобности (УУП).

Теперь можно написать пропорцию между сторонами данных треугольников:

(AB / AM) = (CS / CM)

Заметим, что AB = AC, так как ВН делит сторону АС пополам.

Пусть AB = AC = x (пусть это длина стороны треугольника). Тогда AM = x / 2.

Пусть CE = y (длина биссектрисы). Тогда CM = y / 2.

Теперь пропорция примет вид:

(x / (x / 2)) = (CS / (y / 2))

Упростим:

2 = (CS / (y / 2))

Теперь найдем CS:

CS = 2 * (y / 2) = y

Таким образом, длина биссектрисы СЕ равна y = 15 см.

2. Длина медианы AF треугольника АВС: По условию, высота BD делит угол АВС пополам. Обозначим точку пересечения медианы СЕ и высоты BD за точку P.

Так как медиана СЕ делит сторону АС пополам, то AP = PC (так как медиана делит противоположные стороны пополам).

Теперь рассмотрим треугольник АPC. Он равнобедренный, так как AP = PC.

Также по условию дано, что медиана СЕ равна 12 см, то есть SE = 2 * EP.

Поскольку медиана делит сторону пополам, EP = PC / 2.

Теперь мы знаем, что SE = 2 * (PC / 2) = PC.

Таким образом, медиана СЕ и сторона PC равны между собой.

Теперь вспомним, что высота BD делит угол АВС пополам, и, следовательно, точка P - это середина стороны AC.

Таким образом, AP = PC = AC / 2.

Пусть AC = x (пусть это длина стороны треугольника).

Тогда AP = PC = x / 2.

Теперь рассмотрим треугольник АPF, где F - точка пересечения медианы СЕ и AF.

Так как медиана делит сторону на отрезки в отношении 2:1 (см. СЕ = 2 * EP), то AF = 3 * EP.

Мы уже знаем, что EP = PC / 2 = (x / 2) / 2 = x / 4.

Таким образом, AF = 3 * (x / 4) = 3x / 4.

Значит, длина медианы AF треугольника АВС равна 3x / 4.