Question

Через вершину C параллелограмма ABCD со сторонами a и b проведена вне его прямая, которая пересекает продолжение стороны AB в точке F, а продолжение стороны AD в точке E. Докажите что произведение BF*DE есть константа, не зависящее от положения прямой? Найдите эту константу. Пожалуйста помогите очень нужно

Answer 1

Треугольник BFC подобен треугольнику АFE ( так как BC|| AE)

Из подобия следует пропорциональность сторон

BF: AF=BC:AE

BF:(AB+BF)=BC:(BC+DE)

Произведение крайних членов пропорции равно произведению крайних

(AB+BF)·BC=BF·(BC+DE)

(a+BF)·b=BF·(b+DE)

a·b+BF·b=BF·b+BF·DE

a·b=BF·DE

Answer 2

Для доказательства того, что произведение BF*DE является константой, не зависящей от положения прямой, докажем, что треугольники BFC и CDE подобны.

Обозначим угол между прямыми BC и EF как α, а угол между прямыми CD и EF как β. Также обозначим угол между прямыми BC и DE как γ.

Теперь рассмотрим следующие пары подобных треугольников:

1. Треугольники BFC и CDE: Обратим внимание, что углы треугольников BFC и CDE равны, так как соответствующие углы при параллельных прямых EF и BC равны (α и γ). Кроме того, общий угол FC в этих треугольниках также равен α.

Таким образом, треугольники BFC и CDE подобны по принципу углов-подобия.

2. Треугольники BFA и CEA: По той же самой логике, углы треугольников BFA и CEA равны (так как соответствующие углы при параллельных прямых EF и BA равны), а общий угол FA в этих треугольниках также равен α.

Таким образом, треугольники BFA и CEA также подобны по принципу углов-подобия.

Теперь мы можем установить отношение между сторонами этих подобных треугольников.

Для треугольников BFC и CDE: BF / CD = FC / CE ... (1)

Для треугольников BFA и CEA: BF / CD = FA / DE ... (2)

Из уравнений (1) и (2) можно сделать вывод, что:

FC / CE = FA / DE

Теперь, перемножим обе стороны этого уравнения:

FC * FA = CE * DE ... (3)

Теперь обратим внимание на параллелограмм ABCD. Мы знаем, что FC равно одной из сторон параллелограмма (например, a), а FA равно другой стороне (например, b).

Получается, что произведение этих сторон равно FC * FA = a * b.

Теперь мы видим, что уравнение (3) может быть переписано следующим образом:

a * b = CE * DE

Отсюда следует, что произведение BF * DE равно постоянной величине a * b, которая не зависит от положения прямой.

Таким образом, доказано, что произведение BF * DE является константой, и эта константа равна площади параллелограмма ABCD.