Question

Докажите что центр окружности равноудален от любой касательной к окружности

Answer 1

Касательная и окружность имеют одну общую точку

Если из этой точки провести отрезок до центра окружности, то мы получим радиус этой окружности

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной.

Следовательно, радиус окружности - расстояние между касательной и центром.

Так как радиусы окружности между собой равны, значит центр окружности равноудален от любой касательной к окружности - ч.т.д

Answer 2

Для доказательства того, что центр окружности равноудален от любой касательной к окружности, мы можем использовать свойство перпендикуляра, которое гласит, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности к касательной, делит ее на две равные части. Давайте рассмотрим следующую схему, чтобы понять этот факт:

cssCopy code
        C
        | \
        |  \    r (радиус окружности)
        |   \
        |____\___________
              A          B
              |          |
              |          |
              |          | 
              |          | 
              |          | 
              |          |
              |          |
              |          |
              O (центр окружности)

Пусть O - центр окружности, AB - касательная к окружности в точке A, и пусть M - середина отрезка AB.

Теперь рассмотрим треугольник OMA. Поскольку OA и OM - это радиусы окружности, они равны и, следовательно, OA = OM = r.

Также у нас есть TOA (теорема о прямом угле) - угол TOM прямой, потому что радиус перпендикулярен касательной в точке A.

По свойству треугольника OMA (перпендикуляр, проведенный из центра к основанию, делит основание на две равные части), мы можем заключить, что MA = MB.

Теперь рассмотрим треугольник OMB. OM = MB (из вышеуказанного свойства), и OM = r (радиус окружности). Значит, треугольник OMB равнобедренный.

Из равнобедренного треугольника следует, что угол OMB равен углу OBM. Теперь у нас есть два угла в треугольнике OMB, которые равны и равны по мере их угловой суммы 180 градусов.

Таким образом, у нас есть два равных треугольника: OMA и OMB. Из равенства этих треугольников следует, что OA = OB, что означает, что центр окружности равноудален от касательной AB.