Question

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке H, причем угол AHB=120 , а биссектрисы, проведенные из вершин B и C — в точке K, причем угол BKC=130. Найдите угол ABC.

Answer 1

 Угол АНВ=120°, ⇒  смежный ему ∠АНТ=60°, ⇒ в прямоугольном треугольнике АНТ ∠НАТ=30°. В  прямоугольном треугольнике САМ  угол С=60°, и биссектриса делит его на два по 30°. В Δ СКВ ∠СКВ=130° ( дано). ⇒ ∠КВС=180°-∠ СКВ-∠КСВ=180°-130°-30°=20°. Так как ВК - биссектриса, угол АВС=2•20°=40°.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников и углами.

Обозначим угол ABC через x.

1. Угол AHB = 120° Известно, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр). Так как угол AHB = 120°, то угол CHB также равен 120°, так как это вертикальные углы.

2. Угол BKC = 130° Теперь рассмотрим треугольник BKC. Угол BKC = 130°. Так как BK — биссектриса угла B, то угол CBK = x/2.

3. Угол CKH = 90° Также заметим, что треугольник CKH — прямоугольный. Вершина K лежит на биссектрисе угла C, а вершина H — на высоте, проведенной из вершины C. Поэтому угол CKH = 90°.

Теперь можем выразить угол CBH: Угол CBH = Угол CBK + Угол BKH = (x/2) + 90°

Так как угол CBH и угол CHB смежные и дополняющие, их сумма равна 180°: Угол CBH + Угол CHB = 180° (x/2 + 90°) + 120° = 180°

Теперь решим уравнение: x/2 + 210° = 180° x/2 = 180° - 210° x/2 = -30° x = -60°

Угол ABC не может быть отрицательным, так как он острый (условие "остроугольный треугольник"). Вероятно, в задаче была допущена ошибка, и она некорректно сформулирована, или же информация в ней противоречива.