Question

Дан треугольник АВС. Построить гомотетию; 1) с центром А и к=1/2; 2) с центром в точке М, лежащей на стороне АВ и к=2; 3)с центром О внутри треугольника и к=2; 4)с центром О вне треугольника и к= - 2.

Answer 1

Обозначим данные прямые через l0 и l, данные точки на прямой l0 - через A0, B0, C0, данные точки на прямой l - через A, B, C. Пусть l1 - произвольная прямая, не проходящая через точку A. Возьмем произвольную точку O0, не лежащую на прямых l0 и l1. Обозначим через P0 центральное проектирование прямой l0 на прямую l1 с центром в точке O0, а через A1, B1, C1 - проекции точек A0, B0, C0. Пусть l2 - произвольная прямая, проходящая через точку A, не совпадающая с прямой l и не проходящая через A1. Возьмем некоторую точку O1 на прямой AA1 и рассмотрим центральное проектирование P1 прямой l1 на l2 с центром в O1. Обозначим через A2, B2, C2 проекции точек A1, B1, C1. Ясно, что A2 совпадает с A. Наконец, пусть P2 - проектирование прямой l2 на прямую l, которое в том случае, когда прямые BB2 и CC2 не параллельны, является центральным проектированием с центром в точке пересечения этих прямых, а в том случае, когда прямые BB2 и CC2 параллельны, является параллельным проектированием вдоль одной из этих прямых. Композиция P2°P1°P0 является требуемым проективным преобразованием.

Answer 2

Для построения гомотетии треугольника АВС с различными коэффициентами и центрами, нужно выполнить следующие шаги:

Дано: треугольник АВС

1. Гомотетия с центром А и коэффициентом k = 1/2:

   • Возьмем каждую вершину B и C треугольника АВС.
   • Найдем точку B', сместив B вдоль отрезка АB на половину его длины (так как k = 1/2).
   • Точно так же найдем точку C', сместив C вдоль отрезка АС на половину его длины.
   • Теперь проведем отрезки АB', АС' и В'C'.
   • Полученный треугольник АB'C' будет гомотетией треугольника АВС с центром в точке А и коэффициентом k = 1/2.

2. Гомотетия с центром М, лежащей на стороне АВ, и коэффициентом k = 2:

   • Возьмем точку М на стороне АВ.
   • Найдем точку A', сместив А вдоль отрезка МА на расстояние, равное удвоенной длине отрезка МА (так как k = 2).
   • Аналогично найдем точки B' и C' смещением В и С вдоль отрезков МВ и МС на удвоенные их длины.
   • Проведем отрезки АB', АС' и В'C'.
   • Полученный треугольник АB'C' будет гомотетией треугольника АВС с центром в точке М и коэффициентом k = 2.

3. Гомотетия с центром О внутри треугольника и коэффициентом k = 2:

   • Возьмем точку О внутри треугольника АВС.
   • Найдем точку A', сместив А вдоль отрезка ОА на удвоенное расстояние до точки О (так как k = 2).
   • Аналогично найдем точки B' и C' смещением В и С вдоль соответствующих отрезков.
   • Проведем отрезки АB', АС' и В'C'.
   • Полученный треугольник АB'C' будет гомотетией треугольника АВС с центром в точке О и коэффициентом k = 2.

4. Гомотетия с центром О вне треугольника и коэффициентом k = -2:

   • Возьмем точку О вне треугольника АВС.
   • Найдем точку A', сместив А вдоль отрезка ОА в противоположном направлении на расстояние, равное удвоенной длине отрезка ОА (так как k = -2).
   • Аналогично найдем точки B' и C' смещением В и С вдоль соответствующих отрезков.
   • Проведем отрезки АB', АС' и В'C'.
   • Полученный треугольник АB'C' будет гомотетией треугольника АВС с центром в точке О и коэффициентом k = -2.

Обратите внимание, что для случаев 2, 3 и 4 центр гомотетии (точки М или О) должен лежать на отрезке между соответствующими вершинами (А и В в случае 2 и 3, А и С в случае 4), чтобы гомотетия была осуществима.