Question

из вершин b и d параллелограмма abcd у которого AB неравно BC и угол A острый проведены перпендекуляры BK и DM к прямой AC. Докажите что четырехугольник BMDK - паррарелограм

Answer 1

Диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника, высоты равны как соответствующие элементы, BM=DK.  Перпендикуляры к одной прямой параллельны, BM || DK. Четырехугольник BMDK является параллелограммом, т.к. две его противоположные стороны равны и параллельны.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник BMDK является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.

Обозначим точки пересечения перпендикуляров BK и DM с прямой AC как точки K' и M' соответственно.

Так как BK и DM являются перпендикулярами к прямой AC, то угол BAK' и угол CDM' прямые.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и K'BM'. У них две пары соответственных углов прямые, так как угол BAK' и угол CDM' прямые (по построению), а угол ABK' и угол DCM' также прямые (так как перпендикуляры к одной и той же прямой).

Таким образом, треугольники ABC и K'BM' подобны по углам (по признаку угл-угл-угл).

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Теперь обратим внимание, что BK и K'M' - это перпендикуляры из вершин параллелограмма ABCD к его стороне AC. Таким образом, они равны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны BM и M'M, а также MD и DK', также пропорциональны и равны друг другу.

Теперь, если мы заметим, что M'M'K'D - это параллелограмм (так как его противоположные стороны равны и параллельны по построению перпендикуляров), то из равенства сторон BM и M'M', а также MD и DK', следует, что четырехугольник BMDK' - это параллелограмм.

Так как мы проводим перпендикуляры из точек B и D к прямой AC, а их пересечение K' и M' находятся на прямой AC, то точки K' и M' совпадают с K и M, соответственно.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник BMDK - параллелограмм.