Question

Дан треугольник ABC и H — точка пересечения высот этого треугольника. Пусть D — середина отрезка BC, E — середина отрезка АС. Кроме того, медианы треугольника AED пересекаются в точке H. Найдите градусную меру угла ∠ABC.

Answer 1

Как известно, медианы треугольника перескаются в одной точке, в отношении 2:1, считая от вершины треугольника  ⇒  AH/HT = 2/1

Применим теорему Менелая для ΔАЕТ и секущей CH:

(AH/HT)•(TD/DE)•(CE/AC) = 1  ⇔  (2/1)•(TD/DE)•(1/2) = 1  ⇔  TD = DE

В ΔCET, CD⊥SE, TD = DE  ⇒  CD - серединный перпендикуляр, SE || AB  ⇒  CP⊥AB, AP = PW, AW = WB, AN⊥WE ⇒  ΔACW - равнобедренный

точка Н - точка пересечения медиан ΔACW, AH = WH, AN⊥WE, значит, ΔAHW - прямоугольный и равнобедренный, WE || BC ⇒ ∠AWH = ∠ABC = 45°

Ответ: 45°

Answer 2

Чтобы найти градусную меру угла ∠ABC, давайте рассмотрим свойства медиан и высот треугольника.

1. Свойства медиан треугольника: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Свойства медиан:

• Медианы пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести или барицентром треугольника.
• Медиана делит противоположную сторону пополам.

2. Свойства высот треугольника: Высота треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной таким образом, что образует прямой угол со стороной. Свойства высот:

• Высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Теперь, когда у нас есть эти свойства, давайте рассмотрим данный треугольник и обозначим точки, как описано в условии:

• A, B, C - вершины треугольника ABC.
• H - точка пересечения высот треугольника ABC (ортоцентр).
• D - середина отрезка BC.
• E - середина отрезка AC.

Так как медианы треугольника AED пересекаются в точке H, а D и E являются серединами соответствующих сторон, то мы можем заключить, что H - это также центр тяжести треугольника ABC.

Теперь вспомним, что медианы треугольника пересекаются в центре тяжести под прямым углом. Это означает, что AH является медианой треугольника ABC и перпендикулярна к стороне BC (так как H - центр тяжести).

Поскольку AH является медианой и высотой треугольника ABC, она проходит через вершину и пересекает сторону BC в ее середине. Таким образом, угол ∠ABC является прямым углом, так как AH является высотой, а HD является медианой и делит BC пополам.

Таким образом, градусная мера угла ∠ABC равна 90 градусам.