Question

Окружность касается сторон AB, BC и CA треугольника ABC в точках K, L и M соответственно, причем MK = ML. Докажите, что луч KM – биссектриса угла AKL.

Answer 1

В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:

AK = AM = p – BC.

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC этого треугольника соответственно в точках K, L и M (см. рис. на с. 38) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y,  

CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

x+y=c               b+c-a

                      ------------

y+z=a ⇒x=              2=p-a

x+z=b

Answer 2

Для доказательства того, что луч KM является биссектрисой угла AKL, нам потребуется использовать некоторые свойства касательных и биссектрис.

Дано:

1. Окружность, которая касается сторон AB, BC и CA треугольника ABC в точках K, L и M соответственно.
2. MK = ML.

Нам также известно, что касательная к окружности в точке касания является перпендикуляром к радиусу, проведенному в эту точку. Используем этот факт для доказательства:

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник AMK. Касательная к окружности, проходящая через точку K, будет перпендикулярна радиусу AM. То же самое верно и для треугольника AML, где касательная в точке L перпендикулярна радиусу AL.

2. Из условия MK = ML следует, что треугольники AMK и AML являются равнобедренными (так как MK и ML это боковые стороны), и углы AMK и AML равны. То есть, ∠AMK = ∠AML.

3. Также из равенства радиусов AM = AL следует, что треугольники AMK и AML также равны по стороне-стороне-стороне, а значит, ∠AKM = ∠ALM.

4. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, то ∠AKL = ∠AML + ∠KML = ∠AMK + ∠KML = ∠AKM + ∠KML.

5. Теперь обратим внимание на треугольник KML. В нем у нас уже есть равные углы ∠KML и ∠KLM, так как MK = ML. А также ∠AKM = ∠KML (по пункту 3).

6. Из данных угловых равенств следует, что ∠AKL = ∠KML, и это означает, что луч KM является биссектрисой угла AKL.

Таким образом, мы доказали, что луч KM является биссектрисой угла AKL.