Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD и боковыми ребрами АА1 , BB1 , CC1 , DD1 , точка M - cередина ребра B1C1. Докажите , что прямые AM и A1C не пересекаются.

Answer 1

ДАНО:  

куб ABCDA1B1C1D1

основание ABCD

боковые ребра АА1 , BB1 , CC1 , DD1

M - cередина ребра B1C1

ДОКАЗАТЬ:

AM и A1C не пересекаются

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

если прямые не пересекаются, они либо параллельны либо скрещиваются. Если бы они были ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, то лежали бы в одной плоскости. Но у нас они лежат в разных плоскостях : А1С лежит в плоскости DA1B1C и АМ лежит в плоскости AB1C1D. И А1С пересекает плоскость AB1C1D в точке N. И точка N не принадлежит АМ. Поэтому прямые скрещиваются.

Ответ верный,проверяли))

Answer 2

Для доказательства того, что прямые AM и A1C не пересекаются, давайте рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, а также отметим точки, которые нам понадобятся для анализа.

Обозначим точку M как середину ребра B1C1, а точку N - середину ребра BC (так как B1C1 параллельно BC, MN является средней линией треугольника ABC).

Теперь давайте докажем, что прямые AM и A1C не пересекаются.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC и треугольник A1B1C1. Очевидно, что эти два треугольника параллельны, так как B1C1 параллельно BC, а также AB || A1B1 и AC || A1C1.

2. Так как AM является медианой треугольника ABC, то AM делит сторону BC пополам. Таким образом, точка N является серединой отрезка AM.

3. Рассмотрим треугольник A1C1N. Так как A1C1 || AC и точка N является серединой отрезка AM, то отрезок A1C1 также делится N пополам.

4. Таким образом, точка M лежит на медиане треугольника A1C1N, проходящей через вершину A1, и делит ее пополам.

5. Вспомним свойство медиан треугольника: медиана делит противоположную сторону пополам. Это означает, что AM также делит сторону A1C1 пополам.

6. Так как AM делит сторону A1C1 пополам, то точка M и точка C1 совпадают.

7. Из пункта 6 следует, что прямая AM совпадает с прямой A1C1.

8. Прямая не может иметь более одной общей точки с другой прямой, а значит, прямые AM и A1C не пересекаются.

Таким образом, доказано, что прямые AM и A1C не пересекаются.