Question

В заданном треугольнике проведены все средние линии. Покажите среди образованных таким образом треугольников подобные. Помогите, пожалуйста

Answer 1

ABC, DBE, DEF, ADF, FEC.

Answer 2

Для начала разберемся, что такое средние линии треугольника. Средняя линия треугольника — это линия, соединяющая середины двух сторон треугольника. Каждая сторона треугольника имеет свою среднюю линию, и точки их пересечения называются центрами масс треугольника. Три средние линии пересекаются в одной точке, которая делит каждую из линий в отношении 2:1.

Теперь давайте посмотрим на то, какие треугольники получаются при соединении вершин треугольника с точками пересечения средних линий.

Пусть ABC — исходный треугольник, а M, N и P — точки пересечения средних линий, причем M лежит на BC, N — на AC и P — на AB.

Тогда мы получаем следующие треугольники:

1. Треугольник MNP — это треугольник, образованный средними линиями исходного треугольника ABC. Он называется медианальным треугольником.

2. Треугольник AMP — это треугольник, образованный средней линией BC и двумя сторонами исходного треугольника. Аналогично можно получить треугольники BNP и CNM.

Теперь посмотрим, какие из этих треугольников подобны и каково соотношение их сторон.

Обратим внимание, что треугольники AMP и ABC имеют общий угол AMB (так как AM — средняя линия, она делит BC пополам). Аналогично у треугольников BNP и ABC общий угол BNC, а у треугольников CNM и ABC — общий угол CMA.

Теперь обратим внимание на стороны:

1. Сторона AM у треугольника AMP соответствует стороне MB у треугольника ABC.
2. Сторона MP у треугольника AMP соответствует стороне BC у треугольника ABC.

Поскольку стороны соответствующих углов пропорциональны, треугольники AMP и ABC подобны с коэффициентом подобия 1:2.

Аналогичные рассуждения можно провести и для треугольников BNP и CNM, и мы получим, что все три треугольника AMP, BNP и CNM подобны треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1:2.

Таким образом, все треугольники, образованные средними линиями исходного треугольника, подобны исходному треугольнику и имеют коэффициент подобия 1:2.