Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AE и CD пересекаются в точке O. Докажите ято AO = CO

Answer 1

Если моё решение вам помогло, то отметьте его как лучшее

Answer 2

Для доказательства того, что в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC биссектрисы AE и CD пересекаются в точке O, и что AO = CO, воспользуемся свойством биссектрис треугольника.

Предположим, что треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC, т.е., AB = BC.

Докажем, что точки O, A и C лежат на одной прямой и AO = CO.

1. Построение биссектрис: Для начала построим биссектрису угла BAC (биссектриса треугольника ABC), которая пересечет сторону BC в точке M. Затем построим биссектрису угла ABC (биссектриса треугольника ABC), которая пересечет сторону AC в точке N. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AM = CM (поскольку AB = BC).

2. Подобные треугольники: Теперь рассмотрим треугольники ΔAOM и ΔCOM.

Угол MOA = угол MOC (по построению биссектрис). Угол AOM = угол COM (так как они являются вертикальными углами и их биссектрисы).

Таким образом, по двум углам они подобны, и по угловой стороне у них также равные стороны (AO = CO), следовательно, треугольники ΔAOM и ΔCOM подобны.

3. Подобные треугольники и отношение сторон: Из подобия треугольников ΔAOM и ΔCOM следует, что отношение длин сторон равно отношению длин соответствующих сторон: AO / CO = AM / CM

Мы знаем, что AM = CM (поскольку AB = BC), поэтому AO / CO = 1.

Это означает, что AO = CO, и точки O, A и C лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.