Question

Пожалуйста! Используя теорему косинусов и теорему о площади треугольника, найти NP, угол P, Smnp, если MN=2дм, MP=5дм, угол M=45°

Answer 1

По теореме косинусов:

NP^2=MP^2 + MN^2 - 2 * MP * MN * cosM;

Подставляем значения(дм в см перевел)

NP^2=2500 + 400 - 2 * (50 * 20 * √2/2) =  2900 - 1000√2

NP = √(2900 - 1000√2)

По теореме о площади треугольника:

Snpm = 1/2 * MN * MP * sinM = (20 * 50 * √2/2) / 2 = 250√2

∠N  - прямой - 90°, ∠M = 45°(по условию) ∠P = 180° - 90° - 45° = 45°

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим стороны треугольника и угол следующим образом:

MN = 2 дм MP = 5 дм Угол M = 45°

Теперь, применим теорему косинусов, которая утверждает:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(A),

где a, b, и c - длины сторон треугольника, а A - противолежащий угол.

1. Найдем NP: По теореме косинусов, применим ее к треугольнику MNP, где a = NP, b = MN и c = MP, а угол A - угол P.

NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 * MN * MP * cos(P) NP^2 = (2 дм)^2 + (5 дм)^2 - 2 * 2 дм * 5 дм * cos(P) NP^2 = 4 дм^2 + 25 дм^2 - 20 дм^2 * cos(P) NP^2 = 29 дм^2 - 20 дм^2 * cos(P)

2. Найдем угол P: У нас уже есть информация о угле M, который составляет 45°. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то угол P будет:

P = 180° - M P = 180° - 45° P = 135°

3. Найдем площадь треугольника Smnp: Площадь треугольника можно найти, используя формулу:

Smnp = 0.5 * MN * NP * sin(P)

Подставим значения и решим:

Smnp = 0.5 * 2 дм * NP * sin(135°)

Теперь нам нужно найти значение sin(135°). Мы знаем, что sin(45°) = √2 / 2.

Таким образом, sin(135°) = sin(45° + 90°) = sin(45°) * cos(90°) + cos(45°) * sin(90°) = (√2 / 2) * 0 + (√2 / 2) * 1 = √2 / 2.

Теперь продолжим расчет:

Smnp = 0.5 * 2 дм * NP * (√2 / 2) Smnp = NP * √2 дм^2

Теперь, чтобы завершить расчет, нам нужно найти значение NP. Для этого воспользуемся первым уравнением:

NP^2 = 29 дм^2 - 20 дм^2 * cos(P)

Подставим значение угла P (135°):

NP^2 = 29 дм^2 - 20 дм^2 * cos(135°)

Теперь нам нужно найти значение cos(135°). Мы знаем, что cos(45°) = √2 / 2.

Таким образом, cos(135°) = cos(45° + 90°) = cos(45°) * cos(90°) - sin(45°) * sin(90°) = (√2 / 2) * 0 - (√2 / 2) * 1 = -√2 / 2.

Продолжим расчет:

NP^2 = 29 дм^2 - 20 дм^2 * (-√2 / 2) NP^2 = 29 дм^2 + 10√2 дм^2

Теперь найдем значение NP:

NP = √(29 дм^2 + 10√2 дм^2) NP = √(29 дм^2) * √(1 + 10√2 / 29) (Используем свойство √(a * b) = √a * √b) NP = √29 дм * √(29 + 10√2) дм NP ≈ √29 дм * 5.116 дм NP ≈ 7.558 дм

Таким образом, мы нашли все искомые значения: NP ≈ 7.558 дм (длина стороны треугольника NP), Угол P ≈ 135°, Smnp ≈ 7.558 дм * √2 дм^2 ≈ 10.686 дм^2 (площадь треугольника MNP).