Question

Углы квадрата со стороной 8 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону полученного восьмиугольника

Answer 1

Ответ:

(8√2 - 8) см

Объяснение:

Пусть х - сторона восьмиугольника.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. Найдем внешний угол восьмиугольника:

360° : 8 = 45°

Срезанные углы квадрата - равные прямоугольные треугольники, а так как острые углы у них по 45°, то они равнобедренные.

$AK=PB=\dfrac{AB-KP}{2}=\dfrac{8-x}{2}=4-\dfrac{x}{2}$

Из прямоугольного треугольника АСК по теореме Пифагора составим уравнение:

АС² + AK² = CK²

2AK² = CK²

$2\cdot \Big(4-\dfrac{x}{2}\Big)^{2}=x^{2}$

$2\cdot \Big(16-4x+\dfrac{x^{2}}{4}\Big)=x^{2}$

$32-8x+\dfrac{x^{2}}{2}=x^{2}$

$64-16x+x^{2}=2x^{2}$

$x^{2}+16x-64=0$

$\dfrac{D}{4}=\Big(\dfrac{b}{2}\Big)^{2}-ac=8^{2}+64=128$

$\sqrt{128}=8\sqrt{2}$

$x=\dfrac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{D}{4}}}{a}$

$x=-8-8\sqrt{2}$  не подходит по смыслу задачи,

$x=-8+8\sqrt{2}=8\sqrt{2}-8$ см

Answer 2

Когда углы квадрата со стороной 8 см срезают, образуется правильный восьмиугольник (восьмиугольник с равными сторонами и углами). Для того чтобы найти сторону полученного восьмиугольника, нужно рассмотреть, что происходит при срезании углов.

Квадрат состоит из четырех прямых углов, и каждый угол квадрата равен 90 градусам. При срезании углов, каждый угол восьмиугольника будет равен 135 градусам. Это следует из того, что сумма углов восьмиугольника равна 1080 градусов (по формуле: (8 - 2) * 180). И так как восьмиугольник правильный, то все его углы равны между собой.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для определения стороны полученного восьмиугольника. В правильном восьмиугольнике, каждая сторона равна друг другу, и каждый угол равен 135 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный одной из сторон восьмиугольника, половиной этой стороны (так как восьмиугольник был получен из квадрата), и половиной одной из сторон квадрата.

Пусть "x" - сторона полученного восьмиугольника. Тогда, сторона квадрата равна 8 см, а половина одной из сторон восьмиугольника равна "x/2". В прямоугольном треугольнике у нас есть:

$cos(135°) = \frac{x/2}{x}$

$cos(135°) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь решим уравнение:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{x/2}{x}$

Домножим обе стороны на "x":

$-\frac{x}{2\sqrt{2}} = 1$

Теперь найдем значение "x":

$x = -2\sqrt{2}$

Так как сторона не может быть отрицательной, мы берем только абсолютное значение:

$x = 2\sqrt{2}$

Таким образом, сторона полученного восьмиугольника составляет приблизительно 2,83 см.