Question

Даны вершины треугольника А(2; 1), В(-1; -1), С(3; 2). Составить уравнение высоты, опущенной на сторону ВС, и медианы, проведенной к стороне АС. Подробно пожалуйста.

Answer 1

составим уравнения сторон:  

рассмотрим векторы:  

AB(1;3);  

BC(-3;-1);  

AC(-2;2).  

 

уравнение ст. АВ: (x-1)/1=(y-1)/3 <=>3x-y-2=0  

ст BC: (x-2)/(-3)=(y-4)/(-1) <=> x-3y+10=0  

ст AC: (x-1)/(-2)=(y-1)/2 <=> x+y-2=0

Answer 2

Для составления уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону ВС, и уравнения медианы, проведенной к стороне АС, нам понадобятся определенные свойства треугольника.

1. Уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону ВС: Высота треугольника, опущенная из вершины В, будет перпендикулярна стороне ВС и проходить через точку В.

Сначала найдем уравнение прямой, содержащей сторону ВС. Для этого воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2):

Уравнение прямой, проходящей через точки C(3, 2) и B(-1, -1): (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)

(x - 3)/(-1 - 3) = (y - 2)/(-1 - (-1)) (x - 3)/(-4) = (y - 2)

Теперь найдем уравнение высоты, проходящей через точку В(-1, -1) и перпендикулярной к стороне ВС. Для этого воспользуемся свойством: если угловой коэффициент одной прямой равен отрицательному обратному углового коэффициента другой прямой, то эти прямые перпендикулярны.

Угловой коэффициент прямой, содержащей сторону ВС: -1/4 Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (высоты): 4 (обратное число и знак изменены)

Теперь используем уравнение прямой в точечной форме для высоты, где (x0, y0) - координаты точки В(-1, -1):

y - y0 = m(x - x0) y - (-1) = 4(x - (-1)) y + 1 = 4(x + 1) y + 1 = 4x + 4 y = 4x + 4 - 1 y = 4x + 3

Таким образом, уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону ВС, равно y = 4x + 3.

2. Уравнение медианы, проведенной к стороне АС: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Нам нужно найти уравнение медианы, проведенной из вершины А к стороне С.

Сначала найдем середину стороны АС, для этого вычислим среднее арифметическое координат точек А(2, 1) и С(3, 2):

Середина x: (2 + 3) / 2 = 5 / 2 = 2.5 Середина y: (1 + 2) / 2 = 3 / 2 = 1.5

Таким образом, середина стороны АС имеет координаты M(2.5, 1.5).

Теперь используем уравнение прямой в точечной форме для медианы, где (x0, y0) - координаты точки А(2, 1):

y - y0 = m(x - x0) y - 1 = (1.5 - 1)/(2.5 - 2)(x - 2) y - 1 = (0.5)/(-0.5)(x - 2) y - 1 = -x + 2 y = -x + 2 + 1 y = -x + 3

Таким образом, уравнение медианы, проведенной из вершины А к стороне С, равно y = -x + 3.

Таким образом, у нас есть уравнения высоты и медианы треугольника.