Question

Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к соответственным сторонам, равны

Answer 1

Ответ:

Дано: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, ВМ и В₁М₁ - медианы.

Доказать: ВМ = В₁М₁.

Доказательство:

АВ = А₁В₁ как соответствующие стороны равных треугольников,

∠А = ∠А₁ как соответствующие углы равных треугольников,

АМ = 1/2 АС        А₁М₁ = 1/2 А₁С₁,  а так как АС = А₁С₁, то и

АМ = А₁М₁, значит

ΔАВМ = ΔА₁В₁М₁ по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны, значит ВМ = В₁М₁.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения вам потребуется использовать свойства равных треугольников и свойства медиан.

Пусть у нас есть два равных треугольника ABC и A'B'C', и мы хотим доказать, что медианы, проведенные к соответственным сторонам этих треугольников, равны.

Первым шагом докажем, что медианы треугольника ABC делят соответствующие стороны в одинаковом отношении. Обозначим медианы треугольника ABC как AD, BE и CF. Где D, E и F - середины сторон BC, AC и AB соответственно.

1. Докажем, что медиана AD делит сторону BC на две равные части: Из свойства медианы известно, что она делит сторону треугольника пополам. Значит, BD = DC.

2. Докажем, что медиана BE делит сторону AC на две равные части: Также из свойства медианы известно, что она делит сторону треугольника пополам. Значит, AE = EC.

3. Докажем, что медиана CF делит сторону AB на две равные части: И снова, из свойства медианы известно, что она делит сторону треугольника пополам. Значит, AF = FB.

Теперь, учитывая, что треугольник A'B'C' является равным треугольнику ABC, можно утверждать, что соответствующие стороны в них равны: AB = A'B', BC = B'C' и AC = A'C'.

Следовательно, медианы треугольника A'B'C', проведенные к соответственным сторонам, также делят их пополам, так как эти стороны равны. Таким образом, медианы треугольника ABC и A'B'C' равны.

Таким образом, мы доказали, что медианы, проведенные к соответственным сторонам равных треугольников, равны.