Question

Дан прямоугольный треугольник ABC . Известно, что гипотенуза равна 8 см и ∢CBA=30° . Найди катет CA .

Answer 1

Катет,лежащий на против угла в 30°,равен половине гипотенузы
СА=8:2=4
Ответ:4

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет найти длину одного из катетов прямоугольного треугольника по длине гипотенузы и величине угла при этом катете.

Теорема косинусов гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C),$ где: $c$ - длина гипотенузы, $a$ и $b$ - длины катетов, $C$ - угол между гипотенузой и катетом $a$.

В нашем случае известны $c = 8$ см и $C = 30^\circ$, а нужно найти $a = CA$. Также, из условия прямоугольного треугольника следует, что $b = CB$.

Подставим известные значения в формулу и найдем $a$:

$a^2 = c^2 - b^2 + 2ab \cdot \cos(C).$

Так как $b = CB$ и $c = 8$ см, а угол $C = 30^\circ$, то:

$a^2 = 8^2 - b^2 + 2 \cdot 8 \cdot b \cdot \cos(30^\circ).$

Теперь нам нужно найти значение $b = CB$. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением для синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(30^\circ) = \frac{CB}{c},$

где $CB = b$, а $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Теперь можем найти $b$:

$b = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}.$

И, наконец, найдем $a$:

$a^2 = 8^2 - 4^2 + 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ).$

$a^2 = 64 - 16 + 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$

$a^2 = 48 + 32\sqrt{3}.$

$a = \sqrt{48 + 32\sqrt{3}} \approx 7.46 \text{ см}.$

Таким образом, длина катета $CA$ составляет примерно 7.46 см.