Question

Даю 40!!!!точки T, X, Y, Z такие точки на сторонах четырехугольника ABCD, что AT:TB = 3:1,BX :XC = 1:2, CY : YD = 1:1, DZ : ZA = 1:5. Установите, какую часть площадь шестиугольника ARXCYZ состовляет от площади четырехугольника ABCD

Answer 1

на сторонах четырехугольника ABCD, что AT:TB = 3:1,BX :XC = 1:2, CY : YD = 1:1, DZ : ZA = 1:5. Установите, какую часть площадь шестиугольника ARXCYZ состовляет от площ

Answer 2

Для удобства, дадим имена точкам пересечения отрезков: пусть R - точка пересечения отрезков AT и DZ, а W - точка пересечения отрезков BX и CY. Теперь нарисуем четырехугольник ABCD и шестиугольник ARXCYZ:

cssCopy code
      T                 X
       o---------------o
      /                 \
     /                   \
    /                     \
   /                       \
  /                         \
 o---------------------------o
 A            R              C
 |                         |
 |                         |
 |                         |
 o---------------------------o
      Z                 Y

Из условия задачи, у нас уже есть соотношения для отношений длин сторон:

1. AT:TB = 3:1
2. BX:XC = 1:2
3. CY:YD = 1:1
4. DZ:ZA = 1:5

Мы хотим найти, какую часть площади шестиугольника ARXCYZ составляет от площади четырехугольника ABCD.

Площадь четырехугольника ABCD обозначим как S_ABCD, а площадь шестиугольника ARXCYZ - как S_ARXCYZ.

Чтобы найти S_ARXCYZ в отношении S_ABCD, мы можем использовать отношение площадей треугольников. Заметим, что шестиугольник ARXCYZ состоит из двух треугольников - треугольника ART и треугольника RWC.

Теперь рассмотрим треугольники:

1. Треугольник ART (правильный треугольник). Из условия DZ:ZA = 1:5, мы можем заключить, что площадь треугольника ART составляет 1/6 от площади треугольника ARXCYZ (так как AR является основанием, а высота опущена из вершины T).

2. Треугольник RWC. Из условия CY:YD = 1:1 и BX:XC = 1:2, мы можем заключить, что площадь треугольника RWC составляет 1/3 от площади треугольника ARXCYZ (так как RW является основанием, а высота опущена из вершины W).

Теперь, чтобы найти S_ARXCYZ, нужно объединить площади обоих треугольников:

S_ARXCYZ = S_ART + S_RWC

S_ARXCYZ = (1/6) * S_ARXCYZ + (1/3) * S_ARXCYZ

S_ARXCYZ = (1/6 + 1/3) * S_ARXCYZ

S_ARXCYZ = (1/6 + 2/6) * S_ARXCYZ

S_ARXCYZ = (3/6) * S_ARXCYZ

S_ARXCYZ = (1/2) * S_ARXCYZ

Таким образом, площадь шестиугольника ARXCYZ составляет половину площади четырехугольника ABCD.