Question

Помогите пожалуйста, очень срочно!!!!! На сторонах AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD отмечены точки P, Q, R и T соответственно так, что AP : PB = BQ : QC = CR : RD = DT : AT = 2 : 1. Какую часть площади четырёхугольника ABCD составляет площадь четырёхугольника PQRT?​

Answer 1

Ответ:

==============================================

Объяснение:

Answer 2

Обозначим площадь четырёхугольника ABCD как S. Также обозначим площадь треугольника XYZ, где X, Y и Z - это точки пересечения диагоналей AC и BD с отрезками PT, RQ и BC соответственно.

По условию, отношения длин отрезков AP : PB, BQ : QC, CR : RD и DT : AT равны 2 : 1. Это означает, что точки P, Q, R и T делят соответствующие стороны на три равные части.

Так как отношение площадей треугольников равно отношению квадратов длин их сторон (поскольку высоты треугольников также пропорциональны сторонам треугольников), то площадь треугольника ABC равна площади треугольника ADT, площадь треугольника BCD равна площади треугольника BQC, и так далее.

Таким образом, площади треугольников ABC, BCD, CDA и DAB равны между собой.

Поскольку площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB, каждая из которых составляет 1/4 от S, получаем:

S = 4 * (1/4) * S = S.

Теперь рассмотрим треугольник XYZ. Так как точки P, Q, R и T делят стороны четырёхугольника ABCD в отношении 2:1, то длины соответствующих сторон треугольника XYZ также будут в отношении 2:1.

Это означает, что площадь треугольника XYZ будет равна (2^2) / (1^2) = 4 раза площади треугольника ABC (или любого другого треугольника ABCD).

Итак, площадь четырёхугольника PQRT составляет 4 * 1/4 = 1 единицу площади четырёхугольника ABCD.

Таким образом, площадь четырёхугольника PQRT составляет 1/4 от площади четырёхугольника ABCD.