Question

Докажите, что равные вписанные углы одной окружности опираются на равные хорды.

Answer 1

Построим окружность с центром в точке О и радиусом R.

Проведём две равные хорды: AB и CD.

Соединим центр окружности с крайними точками хорд AB и CD.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AB и CD равны. Так как точки A, B, C и D лежат на окружности, OA, OB, OC и OD - радиусы (они проведены от центра окружности до точки, лежащей на окружности) и, соответственно, равны.

Так как AB = CD, OA = OD, OB = OC, то треугольники AOB и COD равны по третьему признаку равенства треугольников (т.е. по трём сторонам). Значит, их соответствующие углы тоже равны. Следовательно, угол AOB равен углу COD.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим две равные вписанные углы, образованные хордами AB и CD на одной окружности:

cssCopy code
            A                   C
           /                     \
          /                       \
       *                          *
      /                            \
     /                              \
    /                                \
   /                                  \
  B                                   D

Мы знаем, что угол A и угол C равны (углы, опирающиеся на одну и ту же хорду AD). Для доказательства того, что хорды AB и CD также равны, проведем отрезки AC и BD.

Так как угол A и угол C равны, то они оба равны половине центрального угла ACBD:

∠A = ∠C = 1/2 * ∠ACBD

Также, угол ACB (угол между хордами) равен среднему арифметическому углов A и C:

∠ACB = 1/2 * (∠A + ∠C) = 1/2 * (∠A + ∠A) = ∠A

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CBD:

В этих треугольниках:

1. Угол ∠ABC = углу ∠CBD (как вертикальные углы, образованные хордами AB и CD и прямой BC).
2. Угол ∠ACB = углу ∠CDB (как доказали выше, ∠ACB = ∠A, ∠CDB = ∠C и ∠A = ∠C).

Таким образом, треугольники ABC и CBD равны по двум углам и углу между сторонами, что означает, что они подобны (по признаку двух углов и углу).

Теперь, зная, что эти треугольники подобны, мы можем сделать вывод, что соответствующие стороны также пропорциональны. То есть:

AB / CD = AC / BD

Так как сторона AC равна стороне BD (по тому же признаку подобия), то:

AB / CD = 1

Это означает, что хорда AB равна хорде CD, что и требовалось доказать.