Question

Прошу всех, пожалуйста, помогите решить задачу. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 10 см і утворює із площиною основи кут 60°. Знайдіть об’єм паралелепіпеда, якщо різниця сторін основи дорівнює 1 см.

Answer 1

.......................................................

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, спочатку знайдемо розміри основи паралелепіпеда, а потім обчислимо його об'єм.

Позначимо сторони основи паралелепіпеда через a та b (за умовою різниця сторін основи дорівнює 1 см, тобто a = b + 1). Тоді діагональ паралелепіпеда - це гіпотенуза правильного трикутника зі сторонами a, b та 10 см, оскільки утворений кут між діагоналлю та площиною основи дорівнює 60°.

За теоремою Піфагора, можемо записати:

$a^2 + b^2 = 10^2$

$b^2 + (b + 1)^2 = 10^2$

$b^2 + b^2 + 2b + 1 = 100$

$2b^2 + 2b - 99 = 0$

Тепер знайдемо значення b, яке буде додатнім, оскільки сторони паралелепіпеда не можуть мати від'ємну довжину:

$b = \frac{-2 + \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-99)}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 + \sqrt{400}}{4} = \frac{-2 + 20}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Тепер знаходимо значення a:

$a = b + 1 = 4.5 + 1 = 5.5$

Тепер, коли ми знаємо сторони основи паралелепіпеда, можемо обчислити його об'єм.

Об'єм паралелепіпеда обчислюється за формулою:

$V = a \cdot b \cdot h$

де h - висота паралелепіпеда, а у нашому випадку вона дорівнює довжині діагоналі, тобто 10 см.

$V = 5.5 \cdot 4.5 \cdot 10 = 247.5 \, \text{см}^3$

Отже, об'єм паралелепіпеда дорівнює 247.5 кубічних сантиметрів.