Question

1.В трапеции АВСD c ocнованиями АD и ВС известно,что АВ=ВС=СD=1/2АD.а)Докажите,что АС перпендикулярен СD б)Найдите углы трапеции. 2.Медиана АМ треугольника АВС продолжена за точку М на расстояние МD=АМ. а)Докажите,что СD=АВ. б)Найдите площадь треугольника АВС,если известно,что АВ=10,АС=12,АМ=5.

Answer 1

1.В трапеции АВСD c ocнованиями АD и ВС известно,что АВ=ВС=СD=1/2АD.а)Докажите,что АС перпендикулярен СD б)Найдите углы трапеции.

Answer 2

1. В данной задаче нам дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, и известно, что AB = BC = CD = (1/2)AD.

а) Доказательство, что AC перпендикулярна CD: Для доказательства этого факта, докажем, что угол между AC и CD равен 90 градусам.

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции ABCD за O.

Так как AB = BC = CD, то трапеция ABCD является равнобедренной. Это значит, что углы при основаниях AD и BC равны.

Угол A и угол C будут равны, так как стороны AB и BC равны.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Так как диагональ AO является медианой треугольника ABC, то она делит сторону BC пополам. Аналогично, CD тоже делит BC пополам. Таким образом, AO = OC = CD.

У нас есть равнобедренный треугольник AOC с AO = OC и углом AOC равным углу C из трапеции. Также, у нас есть треугольник CDO с CO = OD и углом CDO равным углу C из трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник AOD. У него две стороны равны AO = OD, и угол между ними равен углу C из трапеции.

Таким образом, треугольник AOD является равносторонним. Следовательно, угол AOD также равен 60 градусам.

Но угол AOD = угол AOC + угол COC = угол AOC + угол CDO.

Так как угол AOC = угол C = 60 градусов, то угол CDO = 0 градусов (они взаимно дополнительны). Это значит, что CD является продолжением отрезка CO. И так как CO является высотой треугольника AOC, а CD продолжает ее, то AC перпендикулярна CD.

б) Найдем углы трапеции:

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то углы при основаниях AD и BC равны. Обозначим угол ADB = угол BCD = x.

Тогда углы ADC и ABC равны углам при основаниях AD и BC соответственно, то есть они тоже равны x.

Таким образом, у трапеции есть два угла равные x, а все углы треугольника равны 180 градусов.

Из этого можно составить уравнение:

x + x + x + x = 180 градусов

4x = 180 градусов

x = 180 градусов / 4 = 45 градусов.

Таким образом, углы трапеции ABCD равны: 45 градусов, 45 градусов, 135 градусов и 135 градусов.

2. Теперь рассмотрим задачу о треугольнике ABC:

а) Докажем, что CD = AB.

Для этого заметим, что AM - медиана треугольника ABC, которая делит сторону BC пополам. При этом, по условию, MD = AM. Таким образом, MD тоже делит сторону BC пополам. Но тогда треугольник MCD является равнобедренным, и CD = MD = AM = AB.

б) Найдем площадь треугольника ABC.

Для вычисления площади треугольника, мы можем использовать формулу Герона, которая выглядит следующим образом:

Площадь (ABC) = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)),

где p - полупериметр треугольника ABC, который можно вычислить как p = (AB + AC + BC) / 2.

Подставим известные значения:

AB = 10, AC = 12, BC = CD = AB = 10.

Тогда полупериметр:

p = (10 + 12 + 10) / 2 = 32 / 2 = 16.

Теперь вычислим площадь:

Площадь (ABC) = √(16 * (16 - 10) * (16 - 12) * (16 - 10)) = √(16 * 6 * 4 * 6) = √(6^2 * 16) = √(36 * 16) = √576 = 24.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 24 квадратным единицам.