Question

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=4, BC=2.

Answer 1

Вот решение данной задачи.

Answer 2

Давайте обозначим следующие точки и отрезки в трапеции ABCD:

AB - боковая сторона трапеции (перпендикулярна основанию BC). CD - основание трапеции. E - точка касания окружности с прямой AB. O - центр окружности.

Также обозначим угол между прямыми CD и AB как α.

У нас есть два важных факта, которые мы можем использовать:

1. Точка касания окружности с прямой всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Это значит, что AE и BE являются радиусами окружности.

2. В прямоугольном треугольнике ADE радиус окружности (половина диагонали трапеции) является медианой к гипотенузе. Поэтому AE^2 + DE^2 = AD^2.

Теперь давайте найдем расстояние от точки E до прямой CD.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADE:

AE^2 + DE^2 = AD^2.

Так как AD = 4, мы можем переписать уравнение:

AE^2 + DE^2 = 4^2, AE^2 + DE^2 = 16.

Мы также знаем, что AE = BE, так как они являются радиусами окружности, проведенными из одной точки касания. Поэтому:

2AE^2 = 16, AE^2 = 8, AE = √8 = 2√2.

Теперь мы можем найти синус угла α:

sin(α) = DE / AE.

Мы знаем, что DE = CD - CE, где CD = BC = 2 (по условию) и CE = AE = 2√2 (так как CE и AE радиусы окружности).

Таким образом, DE = 2 - 2√2.

Теперь вычислим синус угла α:

sin(α) = (2 - 2√2) / 2√2.

Чтобы найти расстояние от точки E до прямой CD, нам нужно найти проекцию точки E на прямую CD, что равно:

Расстояние = AE * sin(α) = 2√2 * (2 - 2√2) / 2√2.

Далее, упростим выражение:

Расстояние = 2 - 2√2.

Итак, расстояние от точки E до прямой CD равно 2 - 2√2 или приблизительно 0.343 единицы (округлено до трех знаков после запятой).